Cho $x;y$ là các số thực thỏa mãn ${\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2x - y.$ 

Cho $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1}$ và $\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx =  - 2.}$ Giá trị của $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}$ bằng 

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - 2$ tại điểm có hoành độ bằng $- 3$ có phương trình là 

Biết $\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}} = a\sqrt 5  + b\sqrt 2  + c}$  với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Tính $P = a + b + c.$ 

Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn theo quý (3 tháng), lãi suất $2\%$  một quý. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm $100$ triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được $1$ năm sau khi gửi tiền (cả vốn lẫn lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây?

Biết bất phương trình ${\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) \le 1$ có tập nghiệm là đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Giá trị của $a + b$ bằng

Tìm giá trị cực tiểu ${y_{CT}}$ của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$ 

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x + 10$ trên đoạn $\left[ { - 3;3} \right]$ là: 

Cho lăng trụ đều $ABC.EFH$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $S$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BH$. Thể tích khối đa diện $ABCSFH$ bằng 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0$ và điểm $I\left( { - 1;2; - 1} \right)$. Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $5.$

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),$ tam giác $ABC$ vuông ở $B.$ $AH$ là đường cao của $\Delta SAB.$ Tìm khẳng định sai. 

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {x + 7}  - 3}}{{{x^2} - 2x}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ sao cho phương trình ${x^9} + 3{x^3} - 9x = m + 3\sqrt[3]{{9x + m}}$ có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng các phần tử của $S$. 

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa $24g$ hương liệu, $9$ lít nước và $210g$ đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế $1$ lít nước cam cần $30g$ đường, $1$ lít nước và $1g$ hương liệu; còn để pha chế $1$ lít nước táo, cần $10g$ đường, $1$ lít nước và $4g$ hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được $60$ điểm và mỗi lít nước táo nhận được $80$ điểm. Gọi $x,y$ lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế sao cho tổng điểm đạt được là lớn nhất. Tính $T = 2{x^2} + {y^2}$.

Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm $O.$ Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh $O$ và đối xứng nhau qua $O$ (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành một hình vuông có cạnh bằng $4m.$ Phần diện tích ${S_1},{S_2}$ dùng để trồng hoa, phần diện tích ${S_3},{S_4}$ dùng để trồng cỏ. Biết kinh phí trồng hoa là $150.000$ đồng/$1{m^2},$ kinh phí để trồng cỏ là $100.000$ đồng/$1{m^2}.$ Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Đặt $g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m$, với $m$ là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình $g\left( x \right) \ge 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]$ là

Cho cấp số cộng có ${u_1} =  - 3;{u_{10}} = 24.$ Tìm công sai $d?$ 

Xét hai số thực $a,b$ dương khác $1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$ 

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$ và hai điểm $A\left( { - 1;2; - 3} \right);B\left( {5;2;3} \right)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $\left( S \right)$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $2M{A^2} + M{B^2}.$

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{4x - 1}}$ có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?