Cho \(x;y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x - y.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\)
ĐK: \(x > y;x > - y \Rightarrow x > \left| y \right|.\)
Suy ra \({\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4 \Leftrightarrow {x^2} \ge {y^2} + 4 \Rightarrow x \ge \sqrt {{y^2} + 4} \) (vì \(x > 0\))
Lại có \(P = 2x - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - y \ge 2\sqrt {{y^2} + 4} - \left| y \right|\)
Đặt \(t = \left| y \right| \ge 0\)
Xét \(f\left( t \right) = 2\sqrt {{t^2} + 4} - t\) có \(f'\left( t \right) = 2\dfrac{t}{{\sqrt {{t^2} + 4} }} - 1 = 0 \Rightarrow 2t = \sqrt {{t^2} + 4} \Rightarrow 3{t^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
BBT của \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
.JPG)
Từ BBT suy ra \(\min f\left( t \right) = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Suy ra \(P \ge 2\sqrt 3 \) hay GTNN của \(P\) là \(2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }};y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }};y = - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Hoàng Hoa Thám
Câu hỏi liên quan
-
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\), \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1} \), với mọi \(x > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 4 = 0.\) Khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một véc tơ pháp tuyến là
-
Xét hai số thực \(a,b\) dương khác \(1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 5 \right) = 2\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Tính \(F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right).\)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2}\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt?
-
Tìm giá trị cực tiểu \({y_{CT}}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\)
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) và hai điểm \(A\left( { - 1;2; - 3} \right);B\left( {5;2;3} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thay đổi trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(2M{A^2} + M{B^2}.\)
-
Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O.\) Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh \(O\) và đối xứng nhau qua \(O\) (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành một hình vuông có cạnh bằng \(4m.\) Phần diện tích \({S_1},{S_2}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({S_3},{S_4}\) dùng để trồng cỏ. Biết kinh phí trồng hoa là \(150.000\) đồng/\(1{m^2},\) kinh phí để trồng cỏ là \(100.000\) đồng/\(1{m^2}.\) Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)
.JPG)
-
Cho một hình trụ có chiều cao bằng \(2\) và bán kính đáy bằng \(3\). Thể tích khối trụ đã cho bằng
-
Cho cấp số cộng có \({u_1} = - 3;{u_{10}} = 24.\) Tìm công sai \(d?\)
-
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1} \) và \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx = - 2.} \) Giá trị của \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \) bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều có \(AB = 2\) và \(SA = 3\sqrt 2 .\) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
-
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{4x - 1}}\) có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây?
-
Đường cong trong hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?
.JPG)
-
Cho \(k,\,\,n\)\(\,(k < n)\) là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây SAI?
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0\) và điểm \(I\left( { - 1;2; - 1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng \(5.\)
-
Cho \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 2\). Tính giá trị của tích phân \(L = \int\limits_0^3 {\left[ {2f\left( x \right) - {x^2}} \right]dx} \).
-
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x + 10\) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) là:
-
Cho đồ thị \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ sau đây. Biết rằng \(\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = a\) và \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = b} \). Tính diện tích \(S\) của phần hình phẳng được tô đậm.
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình bên dưới. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.JPG)
