Xét hai số thực \(a,b\) dương khác \(1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho đồ thị \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ sau đây. Biết rằng \(\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx}  = a\) và \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = b} \). Tính diện tích \(S\) của phần hình phẳng được tô đậm.

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{4x - 1}}\) có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây? 

Tìm giá trị cực tiểu \({y_{CT}}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) 

Cho \(x;y\) là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x - y.\) 

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \(24g\) hương liệu, \(9\) lít nước và \(210g\) đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế \(1\) lít nước cam cần \(30g\) đường, \(1\) lít nước và \(1g\) hương liệu; còn để pha chế \(1\) lít nước táo, cần \(10g\) đường, \(1\) lít nước và \(4g\) hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được \(60\) điểm và mỗi lít nước táo nhận được \(80\) điểm. Gọi \(x,y\) lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế sao cho tổng điểm đạt được là lớn nhất. Tính \(T = 2{x^2} + {y^2}\).

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( {2;1; - 3} \right)\), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y + 3z = 0,\left( R \right):2x - y + z = 0\) là: 

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a  = \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  - 2\overrightarrow k \). Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow a \) là

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 1}}\) thỏa mãn \(F\left( 5 \right) = 2\) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Tính \(F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right).\) 

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 6 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng 

Cho lăng trụ đều \(ABC.EFH\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(S\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BH\). Thể tích khối đa diện \(ABCSFH\) bằng 

Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O.\) Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh \(O\) và đối xứng nhau qua \(O\) (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành một hình vuông có cạnh bằng \(4m.\) Phần diện tích \({S_1},{S_2}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({S_3},{S_4}\) dùng để trồng cỏ. Biết kinh phí trồng hoa là \(150.000\) đồng/\(1{m^2},\) kinh phí để trồng cỏ là \(100.000\) đồng/\(1{m^2}.\) Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \({G_1},\,{G_2}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(BCD\) và \(ACD\). Mệnh đề nào sau đây SAI? 

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho phương trình \({x^9} + 3{x^3} - 9x = m + 3\sqrt[3]{{9x + m}}\) có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng các phần tử của \(S\). 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) đều có \(AB = 2\) và \(SA = 3\sqrt 2 .\) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng 

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 2\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 3\) có phương trình là 

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 6 \). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\). 

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x + 10\) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) là: 

Biết bất phương trình \({\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) \le 1\) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Giá trị của \(a + b\) bằng

Ông \(A\) dự định sử dụng hết \(5{m^2}\) kính để làm bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( { - 4;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(x - 2y - z + 4 = 0\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình là