Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O.\) Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh \(O\) và đối xứng nhau qua \(O\) (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành một hình vuông có cạnh bằng \(4m.\) Phần diện tích \({S_1},{S_2}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({S_3},{S_4}\) dùng để trồng cỏ. Biết kinh phí trồng hoa là \(150.000\) đồng/\(1{m^2},\) kinh phí để trồng cỏ là \(100.000\) đồng/\(1{m^2}.\) Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

A. \(3.000.000\) đồng

B. \(3.270.000\) đồng

C. \(5.790.000\) đồng

D. \(6.060.000\) đồng

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(4\) nên

\(BD = \sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = 4\sqrt 2 \Rightarrow OB = 2\sqrt 2 \) và \(A\left( { - 2;2} \right);B\left( {2;2} \right)\)

Phương trình đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r = 2\sqrt 2 \) là \({x^2} + {y^2} = 8 \Rightarrow y = \sqrt {8 - {x^2}} \)

Parabol đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;2} \right);B\left( {2;2} \right)\) và có đỉnh \(O\left( {0;0} \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)

Khi đó \(2 = a{.2^2} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}{x^2}\,\,\left( P \right)\)

Từ đồ thị ta có \({S_1}\) là giới hạn của hai đồ thị hàm số \(y = \sqrt {8 - {x^2}} \) và \(y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) và hai đường thẳng \(x = - 2;x = 2.\)

Nên ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right)} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} } dx - \left. {\dfrac{1}{6}{x^3}} \right|_{ - 2}^2 = I - \dfrac{8}{3}\)

Xét \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx} \) , đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 \cos tdt\)

Đổi biến số \(x = - 2 \Rightarrow t = - \dfrac{\pi }{4}\) ; \(x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\)

Từ đó \(I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 \cos tdt = } \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {8{{\cos }^2}tdt = } 4\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt = \left. {4t + 2\sin 2t} \right|_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} = 2\pi + 4} \)

Nên \({S_1} = I - \dfrac{8}{3} = 2\pi + 4 - \dfrac{8}{3} = 2\pi + \dfrac{4}{3}\)

Lại thấy \({S_1} = {S_2};{S_3} = {S_4}\) (vì hai parapol đối xứng nhau qua đình \(O\)), diện tích cả bồn hoa là

\(S = \pi {r^2} = \pi {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 8\pi .\)

Từ đó diện tích trồng hoa là \({S_1} + {S_2} = 2{S_1} = 4\pi + \dfrac{8}{3}\,\left( {{m^2}} \right)\)

Diện tích trồng cỏ là \({S_3} + {S_4} = S - \left( {{S_1} + {S_2}} \right) = 4\pi - \dfrac{8}{3}\,\left( {{m^2}} \right)\)

Nên tổng số tiền trồng bồn hoa là \(\left( {4\pi + \dfrac{8}{3}} \right).150000 + \left( {4\pi - \dfrac{8}{3}} \right).100000 \approx 32749256\) đồng.

Chọn B.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài