Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(BC = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SM\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(N\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AB//MN\) suy ra \(d\left( {AB,SM} \right) = d\left( {AB,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)\)
Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) lên \(MN\) \( \Rightarrow ME \bot AE\), mà \(ME \bot SA\) \( \Rightarrow NE \bot \left( {SAE} \right)\).
Gọi \(F\) là hình chiếu của \(A\) lên \(SE\) \( \Rightarrow AF \bot SE\).
Mà \(EN \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow NE \bot AF\).
Do đó \(AF \bot \left( {SEN} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SEN} \right)} \right) = AF\).
Tam giác \(SAE\) vuông tại \(A\) có \(\dfrac{1}{{A{F^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{12{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{{13}}{{12{a^2}}} \Rightarrow A{F^2} = \dfrac{{12{a^2}}}{{13}} \Leftrightarrow AF = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\)
Vậy \(d\left( {AB,SM} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Hoàng Hoa Thám