Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa $24g$ hương liệu, $9$ lít nước và $210g$ đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế $1$ lít nước cam cần $30g$ đường, $1$ lít nước và $1g$ hương liệu; còn để pha chế $1$ lít nước táo, cần $10g$ đường, $1$ lít nước và $4g$ hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được $60$ điểm và mỗi lít nước táo nhận được $80$ điểm. Gọi $x,y$ lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế sao cho tổng điểm đạt được là lớn nhất. Tính $T = 2{x^2} + {y^2}$.

Từ các chữ số $1;5;6;7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau? 

Cho tứ diện $ABCD$, gọi ${G_1},\,{G_2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$. Mệnh đề nào sau đây SAI? 

Cho $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 1}$ và $\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx =  - 2.}$ Giá trị của $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}$ bằng 

Cho $x;y$ là các số thực thỏa mãn ${\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2x - y.$ 

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$ và hai điểm $A\left( { - 1;2; - 3} \right);B\left( {5;2;3} \right)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $\left( S \right)$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $2M{A^2} + M{B^2}.$

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + z + 4 = 0.$ Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là 

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là $B$ và chiều cao $h$ được tính bởi công thức 

Cho hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow a  = \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  - 2\overrightarrow k$. Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow a$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ đều có $AB = 2$ và $SA = 3\sqrt 2 .$ Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng 

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = a\sqrt 6$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$. 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0$ và điểm $I\left( { - 1;2; - 1} \right)$. Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $5.$

Tìm giá trị cực tiểu ${y_{CT}}$ của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2}$ 

Cho một hình trụ có chiều cao bằng $2$ và bán kính đáy bằng $3$. Thể tích khối trụ đã cho bằng 

Cho hình lăng trụ $ABC.\,A'B'C'$ có thể tích bằng $V$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BB'$, điểm $N$ thuộc cạnh $CC'$ sao cho $CN = 2C'N$. Tính thể tích khối chóp $A.\,BCNM$ theo $V$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Đặt $g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m$, với $m$ là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình $g\left( x \right) \ge 0$ nghiệm đúng với $\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]$ là

Cho $a$ là số thực dương bất kì khác $1$. Tính $S = {\log _a}\left( {{a^3}\sqrt[4]{a}} \right)$. 

Cho lăng trụ đều $ABC.EFH$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $S$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BH$. Thể tích khối đa diện $ABCSFH$ bằng 

Biết bất phương trình ${\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) \le 1$ có tập nghiệm là đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Giá trị của $a + b$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $B\left( {2;1; - 3} \right)$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):x + y + 3z = 0,\left( R \right):2x - y + z = 0$ là: