Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) và hai điểm \(A\left( { - 1;2; - 3} \right);B\left( {5;2;3} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thay đổi trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(2M{A^2} + M{B^2}.\)

A. \(5\)

B. \(123\)

C. \(65\)

D. \(112\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Ta xác định điểm \(H\left( {x;y;z} \right)\) sao cho \(2.\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} = \overrightarrow 0 \)

\(\overrightarrow {HA} = \left( { - 1 - x;2 - y; - 3 - z} \right);\,\overrightarrow {HB} = \left( {5 - x;2 - y;3 - z} \right)\) nên

\(2.\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( { - 2 - 2x;4 - 2y; - 6 - 2z} \right) + \left( {5 - x;2 - y;3 - z} \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2x + 5 - x = 0\\4 - 2y + 2 - y = 0\\ - 6 - 2z + 3 - z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = - 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;2; - 1} \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}2M{A^2} + M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} = 2.{\left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HB} } \right)^2}\\ = 2.\left( {M{H^2} + 2\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {HA} + H{A^2}} \right) + \left( {M{H^2} + 2.\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {HB} + H{B^2}} \right)\\ = 3M{H^2} + 2H{A^2} + H{B^2} + 2\overrightarrow {MH} \left( {2\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} } \right)\\ = 3M{H^2} + 2H{A^2} + H{B^2}\,\,\left( {Do\,\,2.\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} = \overrightarrow 0 } \right)\end{array}\)

Ta có \(\overrightarrow {HA} = \left( { - 2;0; - 2} \right);\,\overrightarrow {HB} = \left( {4;0;4} \right) \Rightarrow H{A^2} = 8;H{B^2} = 32\) nên

\(2M{A^2} + M{B^2} = 3M{H^2} + 2.8 + 32 = 3M{H^2} + 48\)

Từ đó \(2M{A^2} + M{B^2}\) lớn nhất khi \(M{H^2}\) lớn nhất hay \(MH\) lớn nhất.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;1;1} \right)\), bán kính \(R = 2\).

Ta có \(M{H_{\max }} = HI + R = \sqrt {4 + 1 + 4} + 2 = 5\).

Như vậy \(2M{A^2} + M{B^2}\) đạt GTLN là \(3M{H^2} + 48 = 3.25 + 48 = 123\).

Chọn B.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài