Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $B\left( {2;1; - 3} \right)$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):x + y + 3z = 0,\left( R \right):2x - y + z = 0$ là: 

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{4x - 1}}$ có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào sau đây? 

Cho $x;y$ là các số thực thỏa mãn ${\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2x - y.$ 

Cho tứ diện $ABCD$, gọi ${G_1},\,{G_2}$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$. Mệnh đề nào sau đây SAI? 

Cho hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow a  = \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  - 2\overrightarrow k$. Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow a$ là

Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của tham số $m$ sao cho phương trình ${x^9} + 3{x^3} - 9x = m + 3\sqrt[3]{{9x + m}}$ có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng các phần tử của $S$. 

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - 2$ tại điểm có hoành độ bằng $- 3$ có phương trình là 

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + z + 4 = 0.$ Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ có một véc tơ pháp tuyến là 

Cho hình lăng trụ $ABC.\,A'B'C'$ có thể tích bằng $V$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BB'$, điểm $N$ thuộc cạnh $CC'$ sao cho $CN = 2C'N$. Tính thể tích khối chóp $A.\,BCNM$ theo $V$.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình bên dưới. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Ông $A$ dự định sử dụng hết $5{m^2}$ kính để làm bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hai hàm số $y = {\log _a}x,y = {\log _b}x$ (với $a,b$ là hai số thực dương khác $1$) có đồ thị lần lượt là $\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 1$, $f\left( x \right) = f'\left( x \right)\sqrt {3x + 1}$, với mọi $x > 0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4$ và hai điểm $A\left( { - 1;2; - 3} \right);B\left( {5;2;3} \right)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $\left( S \right)$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $2M{A^2} + M{B^2}.$

Cho hình $H$ là đa giác đều có $24$ đỉnh. Chọn ngẫu nhiên $4$ đỉnh của $H.$ Tính xác suất sao cho $4$ đỉnh được chọn tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải hình vuông. 

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa $24g$ hương liệu, $9$ lít nước và $210g$ đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế $1$ lít nước cam cần $30g$ đường, $1$ lít nước và $1g$ hương liệu; còn để pha chế $1$ lít nước táo, cần $10g$ đường, $1$ lít nước và $4g$ hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được $60$ điểm và mỗi lít nước táo nhận được $80$ điểm. Gọi $x,y$ lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế sao cho tổng điểm đạt được là lớn nhất. Tính $T = 2{x^2} + {y^2}$.

Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 1}}$ thỏa mãn $F\left( 5 \right) = 2$ và $F\left( 0 \right) = 1$. Tính $F\left( 2 \right) - F\left( { - 1} \right).$ 

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 2z - 6 = 0$ và $\left( Q \right):x + 2y - 2z + 3 = 0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng 

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$ 

Xét hai số thực $a,b$ dương khác $1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?