Biết \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}} = a\sqrt 5 + b\sqrt 2 + c} \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ. Tính \(P = a + b + c.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\sqrt {{x^2} + 1} = t \Rightarrow {x^2} + 1 = {t^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xdx = tdt\\{x^2} = {t^2} - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = \dfrac{t}{x}dt\\{x^2} = {t^2} - 1\end{array} \right.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \\t = 2 \Rightarrow t = \sqrt 5 \end{array} \right.\)
Do đó \(\int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\dfrac{{{x^3}}}{{t - 1}}\dfrac{t}{x}dt = } } \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\dfrac{{{x^2}.t}}{{t - 1}}dt = } \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\dfrac{{\left( {{t^2} - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\dfrac{{\left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right).t}}{{t - 1}}dt} } \)
\(\begin{array}{l} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} + t} \right)dt = } \left. {\dfrac{{{t^3}}}{3} + \dfrac{{{t^2}}}{2}} \right|_{\sqrt 2 }^{\sqrt 5 } = \dfrac{5}{3}\sqrt 5 + \dfrac{5}{2} - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3} - 1 = \dfrac{5}{3}\sqrt 3 - \dfrac{2}{3}\sqrt 2 + \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow a = \dfrac{5}{3};b = - \dfrac{2}{3};c = \dfrac{3}{2} \Rightarrow P = a + b + c = \dfrac{5}{2}.\end{array}\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Hoàng Hoa Thám