Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi B ' và D ' theo thứ tự là trung điểm các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt cạnh SC tại C’. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được chia ra bởi mặt phẳng (AB’D’)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi O là tâm của hình bình hành ABCD. SO cắt B'D' tại I.
Nối AI cắt SC tại C' nên A, B', C', D' đồng phẳng
Đặt \({V_{S.ABC{\rm{D}}}} = V \Rightarrow {V_{S.AC{\rm{D}}}} = {V_{S.ABC}} = \dfrac{V}{2}\)
Ta có \(\dfrac{{{V_{S.AC'D'}}}}{{{V_{S.AC{\rm{D}}}}}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}.\dfrac{{S{\rm{D}}'}}{{S{\rm{D}}}}\) và \(\dfrac{{{V_{S.AC'B'}}}}{{{V_{S.ACB}}}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}\)
Do đó \(\dfrac{{{V_{S.AC'B'}}}}{{{V_{S.ACB}}}} + \dfrac{{{V_{S.AC'D'}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\left( {\dfrac{{SB'}}{{SB}} + \dfrac{{SD'}}{{SD}}} \right) = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Hay \(\dfrac{{2{V_{S.AC'B'}}}}{V} + \dfrac{{2{V_{S.AC'D'}}}}{V} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {{V_{S.AC'B'}} + {V_{S.AC'D'}}} \right)}}{V} = \dfrac{{SC'}}{{SC}} \Leftrightarrow \dfrac{{2{V_{S.AB'C'D'}}}}{V} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}\)
Do \(B'D' = \dfrac{1}{2}BD \Rightarrow SI = \dfrac{1}{2}SO\).
Xét tam giác \(\Delta SCO\) có \(C',I,A\) thẳng hàng nên áp dụng định lý Me – ne – la – uýt ta có :
\(\dfrac{{C'S}}{{C'C}}.\dfrac{{AC}}{{AO}}.\dfrac{{IO}}{{IS}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{C'S}}{{C'C}}.2.1 = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{C'S}}{{C'C}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{SC'}}{{SC}} = \dfrac{1}{3}\)
Vậy \(\dfrac{{2{V_{S.AB'C'D'}}}}{V} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow {V_{S.AB'C'D'}} = \dfrac{V}{6} \Rightarrow {V_{AB'C'D'BC{\rm{D}}}} = V - \dfrac{V}{6} = \dfrac{{5V}}{6}\)
Hay tỷ số thể tích của hai khối đa diện được chia ra bởi (AB'D') là: \(\dfrac{{{V_{S.AB'C'D'}}}}{{{V_{AB'C'D'BC{\rm{D}}}}}} = \dfrac{V}{6}:\dfrac{{5V}}{6} = \dfrac{1}{5}\).
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Phạm Phú Thứ