Cho \(\int\limits_5^{21} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 4} }} = a\ln 3} + b\ln 5 + c\ln 7\) với \(a,\,b,\,c\) là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(t = \sqrt {x + 4} \Rightarrow {t^2} = x + 4 \Rightarrow 2tdt = dx\).
x = 5 thì t = 3
x = 21 thì t = 5
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\int\limits_5^{21} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 4} }} = } \int\limits_3^5 {\frac{{2tdt}}{{\left( {{t^2} - 4} \right).t}} = } \int\limits_3^5 {\frac{{2dt}}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)}}} \\
= \int\limits_3^5 {\frac{{2dt}}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)}} = } \frac{{ - 1}}{2}\int\limits_3^5 {\frac{{\left( {t - 2} \right) - \left( {t + 2} \right)dt}}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t + 2} \right)}}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
= \frac{{ - 1}}{2}\int\limits_3^5 {\left( {\frac{1}{{t + 2}} - \frac{1}{{t - 2}}} \right)} dt\\
= \left. { - \frac{1}{2}\ln \left| {t + 2} \right|} \right|_3^5 + \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {t - 2} \right|} \right|_3^5
\end{array}\\
{ = \frac{{ - 1}}{2}\ln 7 + \frac{1}{2}\ln 5 + \frac{1}{2}\ln 3}
\end{array}\)
Khi đó ta có: \(a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2};c = - \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = - 2c\) .
Chọn A.
Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Toán
Trường THPT Trần Hưng Đạo