Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho \(MO = \frac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Nhận thấy giao tuyến (d) của hai mặt phẳng \(\left( {MAB} \right),\left( {MC'D'} \right)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(AB,C'D'\)
Do \(M\in OI\Rightarrow MA=MB\Rightarrow \Delta MAB\) cân tại M, tương tự \(\Delta MC'D'\) cân tại M. Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB và C’D’ ta có:
Do đó \(MK \bot AB \Rightarrow MK \bot d;MH \bot C'D' \Rightarrow MH \bot d\)
Khi đó \(\left( {\left( {MC'D'} \right),\left( {MAB} \right)} \right) = \left( {MH,MK} \right) = \varphi \Rightarrow \cos \varphi = \left| {\cos \widehat {HMK}} \right|\)
Giả sử hình lập phương có cạnh bằng \(6\)
Ta có: \(IM=2,IH=3\Rightarrow MH=\sqrt{13}\)
Gọi \(E\) là tâm hình vuông \(ABCD \Rightarrow EM = 4;EK = 3 \Rightarrow MK = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\)
Mà \(HK = AD' = 6\sqrt 2 \)
Suy ra \(\left| {\cos \widehat {HMK}} \right| = \left| {\frac{{M{K^2} + M{H^2} - H{K^2}}}{{2MH.MK}}} \right| = \left| {\frac{{25 + 13 - 72}}{{2.5\sqrt {13} }}} \right| = \left| {\frac{{ - 34}}{{10\sqrt {13} }}} \right| = \frac{{17\sqrt {13} }}{{65}}\)
Vậy \(\cos \varphi =\frac{17\sqrt{13}}{65}\)
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Toán
Trường THPT Trần Hưng Đạo
Câu hỏi liên quan
-
Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{150}}{t^2} + \frac{{59}}{{75}}t\,\,\left( {m/s} \right)\) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng \(a\left( {m/{s^2}} \right)\) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
-
Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({\log _3}\left( {3a} \right)\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = 2a,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng
-
Phương trình \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)?
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 3\\z = 5 + 4t\end{array} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 3;5} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1;2; - 2} \right).\) Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và \(\Delta \) có phương trình là
-
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển biểu thức \(x{\left( {3x - 1} \right)^6} + {\left( {2x - 1} \right)^8}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a,b,c \in R} \right).\) Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(4f\left( x \right) - 3 = 0\) là:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 2\) và điểm \(A\left( {1;2;3;} \right)\). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:
-
\(\lim \frac{1}{{5n + 2}}\) bằng
-
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 4} - 2}}{{{x^2} + x}}\) là
-
Cho \(\int\limits_5^{21} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 4} }} = a\ln 3} + b\ln 5 + c\ln 7\) với \(a,\,b,\,c\) là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {2^x},y = 0,x = 0,x = 2.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y = \frac{1}{8}{x^4} - \frac{7}{4}{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) ( M, N khác A) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)?\)
-
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng \(\sqrt 5 \) , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’ và \(A'M = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\) . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right).\) Hai hàm số \(y=f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y = g'\left( x \right)\). Hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {x + 7} \right) - g\left( {2x + \frac{9}{2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
-
Ông A dự định sử dụng hết \(6,7{m^2}\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 1} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 1} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0?\)
-
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là:
