Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(I\left( -1;1 \right)\)
Tam giác \(IAB\) đều thì \(AB\) vuông góc với tia phân giác góc phần tư thứ \(II,IV\) : \(y = - x\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(AB:y = x + m\), phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(AB\) là :
\(\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + mx + m + 1 = 0\left( {x \ne - 1} \right)\,\,\left( 2 \right)\)
AB cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khác – 1 khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} - m + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m - 4 > 0\\2 \ne 0\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 2 - 2\sqrt 2 \\m > 2 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó ta có IH cũng là trung tuyến của tam giác đều ABC
hay \(IH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = d\left( {I;AB} \right) \Leftrightarrow \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| { - 1 - 1 + m} \right|}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}\,\,\left( 3 \right)\)
Giả sử A, B lần lượt có tọa độ là : \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right);B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]} \)
Áp dụng Viet cho phương trình (2) ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.\) .
Nên \(AB = \sqrt {2.\left( {{m^2} - 4m - 4} \right)} \)
Khi đó thay vào (3) ta có : \(\frac{{\sqrt {2.\left( {{m^2} - 4m - 4} \right).3} }}{2} = \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow 3{m^2} - 12m - 12 = {m^2} - 4m + 4 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - 2\sqrt 3 \\m = 2 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Khi đó thay vào AB ta được \(AB = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 .\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2023 môn Toán
Trường THPT Trần Hưng Đạo
Câu hỏi liên quan
-
Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là:
-
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right).\) Hai hàm số \(y=f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y = g'\left( x \right)\). Hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {x + 7} \right) - g\left( {2x + \frac{9}{2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
-
Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho \(MO = \frac{1}{2}MI\) (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}.\) Đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình là
-
Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 38 học sinh?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3}\) và \(f'\left( x \right) = x{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng:
-
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng \(\sqrt 5 \) , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’ và \(A'M = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\) . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1; - 2} \right)\) và \(B\left( {2;2;1} \right)\) . Vecto \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là:
-
Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{150}}{t^2} + \frac{{59}}{{75}}t\,\,\left( {m/s} \right)\) , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng \(a\left( {m/{s^2}} \right)\) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
-
Cho phương trình \({3^x} + m = {\log _3}\left( {x - m} \right)\) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 15;15} \right)\) để phương trình đã cho có nghiệm ?
-
Cho \(\int\limits_5^{21} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 4} }} = a\ln 3} + b\ln 5 + c\ln 7\) với \(a,\,b,\,c\) là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 2\) và điểm \(A\left( {1;2;3;} \right)\). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + x\) là
-
Ông A dự định sử dụng hết \(6,7{m^2}\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
-
\(\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} \) bằng
-
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{3}\) có phương trình là
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 3\\z = 5 + 4t\end{array} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 3;5} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1;2; - 2} \right).\) Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và \(\Delta \) có phương trình là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,BC = 2a,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng
