Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y =  - 3\\z = 5 + 4t\end{array} \right..$  Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1; - 3;5} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u \left( {1;2; - 2} \right).$ Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và $\Delta$ có phương trình là 

Cho $a > 0,b > 0$ thỏa mãn ${\log _{10a + 3b + 1}}\left( {25{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{10ab + 1}}\left( {10a + 3b + 1} \right) = 2$ . Giá trị của $a + 2b$ bằng:

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng $\sqrt 5$ , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng 1 và 2, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’ và $A'M = \frac{{\sqrt {15} }}{3}$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Cho hàm số $y = \frac{1}{8}{x^4} - \frac{7}{4}{x^2}$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm A thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ ( M, N khác A) thỏa mãn ${y_1} - {y_2} = 3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)?$ 

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 2$ và điểm $A\left( {1;2;3;} \right)$. Xét các điểm M  thuộc (S) sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với (S), M  luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là:

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^4} + x$  là 

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $\left( P \right):\,3x + 2y + z - 4 = 0$ có một vecto pháp tuyến là 

Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: $\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{2}$  có một vecto chỉ phương là 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt 2 a.$  Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

Cho hình lập phương  ABCD. A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho $MO = \frac{1}{2}MI$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng

Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích của khối chóp đã cho bằng 

Cho $\int\limits_5^{21} {\frac{{dx}}{{x\sqrt {x + 4} }} = a\ln 3}  + b\ln 5 + c\ln 7$ với $a,\,b,\,c$ là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{{x + 6}}{{x + 5m}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {10; + \infty } \right)$ ?

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a,b,c \in R} \right).$ Đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$  như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình $4f\left( x \right) - 3 = 0$ là:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1;2; - 2} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{3}$ có phương trình là

Tập nghiệm của phương trình ${\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = 3$ là: 

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{{x^2} + x}}$ là

Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v\left( t \right) = \frac{1}{{150}}{t^2} + \frac{{59}}{{75}}t\,\,\left( {m/s} \right)$ , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 3 giây so với A và có gia tốc bằng $a\left( {m/{s^2}} \right)$ (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx - 2$  và $g\left( x \right) = d{x^2} + ex + 2\,\,\left( {a,b,c,d,e \in R} \right).$  Biết rằng đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $- 2; - 1;1$ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $AB = a,BC = 2a,\,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy  và $SA = a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng 

Phương trình $\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$?