Cho hàm số y=f(x) thòa mãn f(2)=16 và \(\int\limits_{0}^{2} f(x) d x=4 .\) Tinh \(\int\limits_{0}^{1} x \cdot f^{\prime}(2 x) d x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=2 x \Rightarrow d t=2 d x\)
Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l} x=0 \Rightarrow t=0 \\ x=1 \Rightarrow t=2 \end{array}\right.\)
Khi đó \(\int\limits_{0}^{1} x \cdot f^{\prime}(2 x) d x=\frac{1}{4} \int\limits_{0}^{2} t f^{\prime}(t) d t\)
Đặt \(\left\{\begin{array}{l} u=t \\ d v=f^{\prime}(t) d t \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} d u=d t \\ v=f(t) \end{array}\right.\right.\)
\(\begin{array}{c} \Rightarrow \int\limits_{0}^{2} t f^{\prime}(t) d t=\left.t f(t)\right|_{0} ^{2}-\int\limits_{0}^{2} f(t) d t \\ =2 f(2)-\int\limits_{0}^{2} f(x) d x \\ =2.16-4=28 \end{array}\)
Vậy \(\int\limits_{0}^{1} x \cdot f^{\prime}(2 x) d x=\frac{1}{4} \cdot 28=7\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT chuyên Thái Bình