Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{x+3}{x-1},\) biết tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

A. \(y=-x+6, y=-x-2\)

B. \(y=-x-6, y=-x-2\)

C. \(y=x+1, y=x+6\)

D. \(y=x-1, y=x-6\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

\(\mathrm{TXD}: D=R \backslash\{1\}\)

\(y^{\prime}=\frac{-4}{(x-1)^{2}}\)

Goi \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M là:

\((d):y=\frac{-4}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{x_{0}+3}{x_{0}-1}\)

Gọi \(A=d \cap O x\)

Cho y=0 ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0=\frac{-4}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{x_{0}+3}{x_{0}-1} \\ \Leftrightarrow 0=-4\left(x-x_{0}\right)+\left(x_{0}+3\right)\left(x_{0}-1\right) \\ \Leftrightarrow 0=-4 x+4 x_{0}+x_{0}^{2}+2 x_{0}-3 \\ \Leftrightarrow x=\frac{x_{0}^{2}+6 x_{0}-3}{4} \\ \Rightarrow A\left(\frac{x_{0}^{2}+6 x_{0}-3}{4} ; 0\right) \Rightarrow O A=\frac{\left|x_{0}^{2}+6 x_{0}-3\right|}{4} \end{array}\)

Gọi \(B=d \cap O y\)

Cho x=0

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y=\frac{4 x_{0}}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}+\frac{x_{0}+3}{x_{0}-1}=\frac{4 x_{0}+\left(x_{0}+3\right)\left(x_{0}-1\right)}{\left(x_{0}-1\right)^{2}} \\ =\frac{4 x_{0}+x_{0}^{2}+2 x_{0}-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}=\frac{x_{0}^{2}+6 x_{0}-3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}} \\ \Rightarrow B\left(0 ; \frac{x_{0}^{2}+6 x_{0}+3}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\right) \Rightarrow O B=\frac{\left|x_{0}^{2}+6 x_{0}-3\right|}{\left(x_{0}-1\right)^{2}} \end{array}\)

Vì tam giác OAB vuông cân tại O nên O A=OB.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{\left|x_{0}^{2}+6 x_{0}-3\right|}{4}=\frac{\left|x_{0}^{2}+6 x_{0}-3\right|}{\left(x_{0}-1\right)^{2}} \\ \Leftrightarrow\left|x_{0}^{2}+6 x_{0}-3\right|\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\right)=0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{4}-\frac{1}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}=0 \end{array}\)

(Do \(A \neq B \text { nên } x_{0}^{2}+6 x_{0}-3 \neq 0)\)

\(\Leftrightarrow\left(x_{0}-1\right)^{2}=4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x_{0}-1=2 \\ x_{0}-1=-2 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x_{0}=3 \\ x_{0}=-1 \end{array}(t m)\right.\right.\)

Với \(x_{0}=3\) thì phương trình tiếp tuyến là \(y=-1(x-3)+3 \Leftrightarrow y=-x+6\)

Với \(x_{0}=-1\) thì phương tình tiếp tuyến là \(y=-1(x+1)-1 \Leftrightarrow y=-x-2\)

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài