Biết \(\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9} d x=3 \ln \frac{a}{b}-\frac{5}{6},\) trong đó a, b là các số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) tối gian. Khi dó \(a^{2}-b^{2}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saita có
\(\begin{array}{l} \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9}=\frac{3 x-1}{(x+3)^{2}}=\frac{A}{(x+3)^{2}}+\frac{B}{x+3} \\ \Leftrightarrow \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9}=\frac{A+B(x+3)}{(x+3)^{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9}=\frac{B x+A+3 B}{(x+3)^{2}} \end{array}\)
Dùng đồng nhất hệ số ta có
\(\left\{\begin{array}{l} B=3 \\ A+3 B=-1 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} B=3 \\ A=-10 \end{array}\right.\right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9}=-\frac{10}{(x+3)^{2}}+\frac{3}{x+3} \\ \Rightarrow \int\limits_{0}^{1} \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9} d x=-10 \int\limits_{0}^{1} \frac{d x}{(x+3)^{2}}+3 \int\limits_{0}^{1} \frac{d x}{x+3} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1} \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9} d x=\left.10 \cdot \frac{1}{x+3}\right|_{0} ^{1}+\left.3 \ln |x+3|\right|_{0} ^{1} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1} \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9} d x=10\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)+3(\ln 4-\ln 3) \\ \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1} \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9} d x=3 \ln \frac{4}{3}-\frac{5}{6} \end{array}\)
\(\Rightarrow a=4, b=3 \Rightarrow a^{2}-b^{2}=4^{2}-3^{2}=7\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT chuyên Thái Bình
Câu hỏi liên quan
-
Hình lăng trụ đứng \(A B C . A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;-2; 3). Tọa độ điểm A là hình chiếu vuông góc của M trên măt phẳng (O y z) là:
-
Trong không gian Oxyz, một vecto chi phương của đường thẳng \(d: \frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{2}\) là
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x)=m có nghiệm duy nhất?
-
Cho hàm số y=f(x) thóa mãn\(f(2)=-\frac{4}{19}\,\, và \,\,f^{\prime}(x)=x^{3} f^{2}(x) \forall x \in \mathbb{R} .\) Giá trị của f(1) bằng:
-
Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của ba hàm số \(y=\log _{a} x, y=\log _{b} x, y=\log _{c} x .\)Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R} \backslash\{-1\},\) có bång biên thiên nhur sau:
Höi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{f(x)}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{m}(2 x-1) d x=2\) thì m có giá trị bằng:
-
Tính \( \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x-\sqrt{x}}{x}\)
-
Cho hinh chóp S . A B C D có \(S A \perp(A B C D)\), đáy ABCD là hình chữ nhật có \(A B=a \sqrt{3}, A D=a \sqrt{2}\) Khoảng cách giũra SD và BC bằng:
-
Cho phương trình\(\log _{2}^{2} x-(5 m+1) \log _{2} x+4 m^{2}+m=0 .\) Biết phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn\(x_{1}+x_{2}=165 .\) Giá trị của \(\left|x_{1}-x_{2}\right|\) bằng:
-
Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
-
Cho hàm số \(y=(x+2)(x-1)^{2}\) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng với hàm số \(y=|x+2|(x-1)^{2} ?\)
-
Cho hàm số y=f(x) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hinh vẽ bên. Khằng định nào sau đây sai?
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-x ; y=2 x-2 ; x=0 ; x=3\) được tính bởi công thức
-
Trên giá sách có 4 quyển sách toán, 3 quyển sách lý, 2 quyển sách hóa (các quyển sách cùng đôi một khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quyển sách sao cho ít nhất một quyển sách toán?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O; cạnh a. Goi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa đường thằng M N và mặt phẳng (A B C D) bằng \(60^{\circ} .\) Tính cos của góc giũa đương thằng MN và măt phẳng (SBD) ?
-
Xếp ngẫu nhiên 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C vào sáu ghế xếp quanh một bàn tròn (một học sinh ngồi đúng một ghế). Tính xác suất đề học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp .B
-
Modun của số phức z=2-3i bằng:
-
Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng \(x-4 y+2 z-7=0\,\, và \,\,2 x-2 y+z+4=0\) chứ hai mặt của hình lập phương. Thề tích khối lập phương đó là:
