Cho hai số thục dương x, y thỏa mãn \(\log _{2} x+x(x+y)=\log _{2}(6-y)+6 x\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=x^{3}+3 y\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐKXĐ: \(\left\{\begin{array}{l} x>0 \\ 6-y>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x>0 \\ y<6 \end{array}\right.\right.\)
Ta có
\(\begin{aligned} & \log _{2} x+x(x+y)=\log _{2}(6-y)+6 x \\ \Leftrightarrow & \log _{2} x+x^{2}+x y=\log _{2}(6-y)+6 x \\ \Leftrightarrow & \log _{2} x+x^{2}=\log _{2}(6-y)+6 x-x y \\ \Leftrightarrow & \log _{2} x+x^{2}=\log _{2}(6-y)+x(6-y) \\ \Leftrightarrow & 2 \log _{2} x+x^{2}=\log _{2}(6-y)+\log _{2} x+x(6-y) \\ \Leftrightarrow & \log _{2} x^{2}+x^{2}=\log _{2}[x(6-y)]+x(6-y) \end{aligned}\)
Xét hàm đặc trưng \(f(t)=\log _{2} t+t(t>0) \text { ta có } f^{\prime}(t)=\frac{1}{t \ln 2}+1>0 \forall t>0\)
\(\Rightarrow\) hàm số đồng biến trên \((0 ;+\infty)\)
Do đó từ \(f\left(x^{2}\right)=f(x(6-y)) \Leftrightarrow x^{2}=x(6-y) \Leftrightarrow x=6-y(\text { Do } x>0) \Leftrightarrow y=6-x\)
Khi đó ta có \(T=x^{3}+3 y=x^{3}+3(6-x)=x^{3}-3 x+18 \text { với } x>0\)
Ta có \(T^{\prime}=3 x^{2}-3=0 \Leftrightarrow x=\pm 1\)
BBT:
Dựa bào bảng biến thiên ta có \(T_{\min }=T(1)=16\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT chuyên Thái Bình
Câu hỏi liên quan
-
Biết \(\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x-1}{x^{2}+6 x+9} d x=3 \ln \frac{a}{b}-\frac{5}{6},\) trong đó a, b là các số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) tối gian. Khi dó \(a^{2}-b^{2}\) bằng
-
Hàm số nào dưới đây không có cực trị:
-
Cho \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân \(u_{1}=2, q=3\,. Tính\,\,u_{3}\)
-
Cho hàm số y=f(x) là hàm đa thức bậc ba và có đồ thị như hinh vẽ bên. Khằng định nào sau đây sai?
-
Nếu \(\int\limits_{0}^{m}(2 x-1) d x=2\) thì m có giá trị bằng:
-
Cho số thực x thỏa mãn \(2^{x^{2}} \cdot 3^{x+1}=1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Tính \( \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x-\sqrt{x}}{x}\)
-
Cho f(x) là hàm số liên tục trên tập số thực \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left(x^{2}+3 x+1\right)=x+2 .\) Tính \(I=\int\limits_{1}^{5} f(x) d x\)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m hàm số \(y=\left|x^{3}-m x^{2}+12 x+2 m\right|\) luôn đồng biến trên khoảng \((1 ;+\infty) ?\)
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \((\alpha): x+y-z+1=0\,\,và \,\,(\beta):-2 x+m y+2 z-2=0\) Tìm m để \((\alpha)\) song song với \((\beta)\)
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1 ; 2 ; 3) và B(3 ; 4 ; 7) . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(2\sqrt{2}\). Canh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3 . Mặt phẳng \((\alpha)\) qua A và vuông góc vói SC cắt canh SB, SC, SD lần lươt tai M, N, P . Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
-
Tập nghiệm của bất phưong trình \(\log _{\frac{1}{2}}(x-1) \geq 0\) là
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-x ; y=2 x-2 ; x=0 ; x=3\) được tính bởi công thức
-
Cho tứ diện ABCD có A B, A C, A D đôi một vuông góc và\(A B=2 a, A C=3 a, A D=4 a\). . Thể tích khối tứ diện là:
-
Cho hàm số y=f(x) thòa mãn f(2)=16 và \(\int\limits_{0}^{2} f(x) d x=4 .\) Tinh \(\int\limits_{0}^{1} x \cdot f^{\prime}(2 x) d x\)
-
Tập hợp các điềm biều diễn số phúrc z thỏa mãn \(|2 z-1|=1 \)là:
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x)=m có nghiệm duy nhất?
-
Tim tâp xác định D của hàm số \(y=\left[x^{2}(x+1)\right]^{\frac{1}{2}}\)
-
Tìm tất cả các giá trị của m đẻ phương trình \(2^{2 x-1}+m^{2}-m=0\) có nghiệm.
