Cho hai hàm số \(y = {x^6} + 6{x^4} + 6{x^2} + 1\) và \(y = {x^3}\sqrt {m - 15x} \left( {m + 3 - 15x} \right)\) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2020;2020] để (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Số phần tử của tập hợp S bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét phương trình \({x^6} + 6{x^4} + 6{x^2} + 1 = {x^3}\sqrt {m - 15x} \left( {m + 3 - 15x} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^3} + 6x + \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^3}}} = \sqrt {m - 15x} \left( {m + 3 - 15x} \right)\) (Do x = 0 không là nghiệm)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {\left( {\sqrt {m - 15x} } \right)^3} + 3\sqrt {m - 15x} \,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0,\,\,\forall t \in R\).
Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = f\left( {\sqrt {m - 15x} } \right)\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = \sqrt {m - 15x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ m = {x^2} + 15x + \frac{1}{{{x^2}}} + 2 \end{array} \right.\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 15x + \frac{1}{{{x^2}}} + 2\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x + 15 - \frac{2}{{{x^3}}} = \frac{{2{x^4} + 15{x^3} - 2}}{{{x^3}}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^3} + 8{x^2} + 4x + 2} \right)}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
.PNG)
Từ bảng biến thiên ta có (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow m > \frac{{55}}{4}\).
Do m nguyên và \(m \in \left[ { - 2020;\,2020} \right]\) nên \(m \in \left\{ {14,15,...,2020} \right\}\). Vậy có 2007 giá trị của m.
Câu hỏi liên quan
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{1 - 2x}}\) là
-
Biết \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = \frac{5}{3}} \) và \(\int\limits_0^4 {f\left( t \right)dt = \frac{3}{5}} \). Tính \(\int\limits_3^4 {f\left( u \right)du} \).
-
Cho hàm số \(y = m{x^3} + 3m{x^2} + 3x + 1\). Tìm tập hợp tất cả các số thực m để hàm số đồng biến trên R.
-
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: \({z^2} - 4z + 9 = 0\). Tìm tọa độ của điểm biểu diễn số phức \(\omega = \left( {1 + i} \right){z_0}\).
-
Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2} + 3x + 1\,,\,y = {x^3} + 1\,\) được tính bởi công thức nào dưới đây ?
-
Diện tích xung quanh của một hình nón có độ dài đường sinh l(m), bán kính đáy \(\frac{3}{\pi }\,(m)\) là:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x - 4z + 2 = 0. Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)} \,{\rm{d}}x = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}x} \)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC. Mặt phẳng \((\alpha)\) qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số \(\dfrac{V_1}V\)?
-
Cho hai số thực a, b thỏa mãn \(\frac{1}{3} < b < a < 1\) và biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{{4{a^3}}}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a\) có giá trị nhỏ nhất. Tính \(\frac{b}{a}\).
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Thể tích khối chóp có đường cao bằng a và diện tích đáy bằng \(2{a^2}\sqrt 3 \) là
-
Cho khối trụ có độ dài đường sinh \(l = a\sqrt 3 \) và bán kính đáy \(r = a\sqrt 2 \). Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\) là
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 25 và chiều cao h = 7. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\) là.
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} - 4\) với trục hoành là
-
Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Gọi R là bán kính, S là diện tích mặt cầu và V là thể tích khối cầu. Công thức nào sau sai?
