Cho hai hàm số \(y = {x^6} + 6{x^4} + 6{x^2} + 1\) và \(y = {x^3}\sqrt {m - 15x} \left( {m + 3 - 15x} \right)\) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2020;2020] để (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Số phần tử của tập hợp S bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét phương trình \({x^6} + 6{x^4} + 6{x^2} + 1 = {x^3}\sqrt {m - 15x} \left( {m + 3 - 15x} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^3} + 6x + \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^3}}} = \sqrt {m - 15x} \left( {m + 3 - 15x} \right)\) (Do x = 0 không là nghiệm)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} + 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = {\left( {\sqrt {m - 15x} } \right)^3} + 3\sqrt {m - 15x} \,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 3 > 0,\,\,\forall t \in R\).
Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = f\left( {\sqrt {m - 15x} } \right)\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = \sqrt {m - 15x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0\\ m = {x^2} + 15x + \frac{1}{{{x^2}}} + 2 \end{array} \right.\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} + 15x + \frac{1}{{{x^2}}} + 2\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x + 15 - \frac{2}{{{x^3}}} = \frac{{2{x^4} + 15{x^3} - 2}}{{{x^3}}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^3} + 8{x^2} + 4x + 2} \right)}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
.PNG)
Từ bảng biến thiên ta có (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow m > \frac{{55}}{4}\).
Do m nguyên và \(m \in \left[ { - 2020;\,2020} \right]\) nên \(m \in \left\{ {14,15,...,2020} \right\}\). Vậy có 2007 giá trị của m.
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i,{z_2} = 3 - i\). Tìm số phức \(z = \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}\).
-
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: \({z^2} - 4z + 9 = 0\). Tìm tọa độ của điểm biểu diễn số phức \(\omega = \left( {1 + i} \right){z_0}\).
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 25 và chiều cao h = 7. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [1;2020] để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của S là?
.png)
-
Cho hình chóp có S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SA biết \(AD = a\sqrt 3 ,AB = a\). Khi đó khoảng cách từ C đến (MBD) là:
-
Mô đun của số phức \(z = \left( {3 + 2i} \right)i\) là
-
Trên không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(2;5;-3) trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC. Mặt phẳng \((\alpha)\) qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số \(\dfrac{V_1}V\)?
-
Xét \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}\sqrt {{{\left( {2 + {x^3}} \right)}^5}} dx} \), nếu đặt \(u = 2 + {x^3}\) thì \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}\sqrt {{{\left( {2 + {x^3}} \right)}^5}} dx} \) bằng
-
Diện tích xung quanh của một hình nón có độ dài đường sinh l(m), bán kính đáy \(\frac{3}{\pi }\,(m)\) là:
-
Cho tập hợp \(S = {\rm{\{ }}1;2;3;4;5;6\} \). Viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lấy từ tập S. Xác suất để được một số chia hết cho 6 bằng
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)} \,{\rm{d}}x = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}x} \)
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2} + 3x + 1\,,\,y = {x^3} + 1\,\) được tính bởi công thức nào dưới đây ?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn [-4;0] bằng
-
Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt \(P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(2a\sqrt 2 \). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
-
Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Khẳng định nào sau đây là sai?
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x - 4z + 2 = 0. Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
Cho hai số thực x; y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}({y^2} + 8y + 16) + {\log _2}\left[ {(5 - x)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{(2y + 8)^2}\). Gọi S là tập hợp tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - m} \right|\) không vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con khác rỗng.
