Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)} \,{\rm{d}}x = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(x){\rm{d}}x} \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right)} \,{\rm{d}}x = 4\).
Đặt \(t = \tan x \Rightarrow {\rm{d}}t = \frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\rm{d}}x = \left( {1 + {t^2}} \right){\rm{d}}x \Rightarrow \frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}} = {\rm{d}}x\).
\( \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\rm{d}}x = \left( {1 + {t^2}} \right){\rm{d}}x \Rightarrow \frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}} = {\rm{d}}x\).
\( \Rightarrow {I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{f(t)}}{{{t^2} + 1}}{\rm{d}}t} = \int\limits_0^1 {\frac{{f(x)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} = 4\).
\({I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}\,} {\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {f(x)} \,{\rm{d}}x - \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} \,{\rm{d}}x = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x - 4 = 2 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 6\)
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Bạn Việt trúng tuyển vào trường Đại học Kinh tế quốc dân nhưng vì lý do không đủ tiền đóng học phí nên Việt quyết định vay ngân hàng trong 4 năm, mỗi năm vay 4 triệu đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Ngay sau khi tốt nghiệp đại học bạn Việt thực hiện trả góp hàng tháng cho ngân hàng số tiền (không đổi) với lãi suất theo cách tính mới là 0,25%/tháng, trong vòng 5 năm. Tính số tiền mà bạn Việt phải trả cho ngân hàng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) hàng tháng là?
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{1 - 2x}}\) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), \(SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có AB = 2AD = 2DC = a (Hình vẽ minh họa). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
.png)
-
Trong không gian tọa độ Oxyz, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{4}\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 + t\\ z = 1 + 2t \end{array} \right.\) là
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} - 4\) với trục hoành là
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2{x^2} + 3x + 1\,,\,y = {x^3} + 1\,\) được tính bởi công thức nào dưới đây ?
-
Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh từ một lớp có 20 học sinh, trong đó một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó, một bạn làm thủ quỹ ?
-
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 công bội \(q = - \frac{1}{3}\). Tính u4.
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-1;-3) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + 4z - 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x - 4z + 2 = 0. Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 3{x^2} - 3\), có đồ thị hình vẽ dưới đây. Với giá trị nào của m thì phương trình \({x^4} - 3{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt?
.png)
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn [-4;0] bằng
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = -i là điểm nào dưới đây?
-
Mô đun của số phức \(z = \left( {3 + 2i} \right)i\) là
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có \(f'\left( x \right) = \left( {2x - 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2}{\left( {x - 2} \right)^3}\left( {4 - x} \right)\). Số điểm cực đại của hàm số y = f(x) là
-
Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Biết \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = \frac{5}{3}} \) và \(\int\limits_0^4 {f\left( t \right)dt = \frac{3}{5}} \). Tính \(\int\limits_3^4 {f\left( u \right)du} \).
-
Cho hai số phức \({z_1} = 3 - i\) và \({z_2} = - 1 + i\). Tính tổng phần thực và phần ảo của số phức \({z_1}\overline {{z_2}} \).
-
Gọi R là bán kính, S là diện tích mặt cầu và V là thể tích khối cầu. Công thức nào sau sai?
