Cho hai số thực a, b thỏa mãn \(\frac{1}{3} < b < a < 1\) và biểu thức \(P = {\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{{4{a^3}}}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a\) có giá trị nhỏ nhất. Tính \(\frac{b}{a}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(4{b^3} - 3b + 1 = \left( {b + 1} \right){\left( {2b - 1} \right)^2} \ge 0;\forall b \in \left( {\frac{1}{3};1} \right).\)
Suy ra: \(3b - 1 \le 4{b^3} \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{{3b - 1}}{{4{a^3}}}} \right) \ge {\log _a}\left( {\frac{{4{b^3}}}{{4{a^3}}}} \right),\) do \(a \in \left( {\frac{1}{3};1} \right)\).
\( \Rightarrow P \ge 3{\log _a}\left( {\frac{b}{a}} \right) + 12\log _{\frac{b}{a}}^2a = 3\left[ {\frac{1}{2}{{\log }_a}\left( {\frac{b}{a}} \right) + \frac{1}{2}{{\log }_a}\left( {\frac{b}{a}} \right) + \frac{4}{{\log _a^2\left( {\frac{b}{a}} \right)}}} \right]\) .
\( \ge 3.3\sqrt[3]{{\frac{1}{2}{{\log }_a}\left( {\frac{b}{a}} \right)\frac{1}{2}{{\log }_a}\left( {\frac{b}{a}} \right)\frac{4}{{\log _a^2\left( {\frac{b}{a}} \right)}}}} = 9\)
\({P_{\min }} = 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}{\log _a}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{4}{{\log _a^2\left( {\frac{b}{a}} \right)}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = \frac{1}{2}\\ {\log _a}\left( {\frac{b}{a}} \right) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = \frac{1}{2}\\ \frac{b}{a} = {a^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = \frac{1}{2}\\ a = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \end{array} \right.\)
Vậy \(\frac{b}{a} = \frac{1}{{\sqrt[3]{4}}}\)
Câu hỏi liên quan
-
Với a là một số thực dương tùy ý, \({\log _2}\left( {8{a^3}} \right)\) bằng
-
Cho hai hàm số \(y = {x^6} + 6{x^4} + 6{x^2} + 1\) và \(y = {x^3}\sqrt {m - 15x} \left( {m + 3 - 15x} \right)\) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2020;2020] để (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Số phần tử của tập hợp S bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x - 4z + 2 = 0. Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3 công bội \(q = - \frac{1}{3}\). Tính u4.
-
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = -i là điểm nào dưới đây?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-1;-3) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + 4z - 5 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là
-
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), \(SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có AB = 2AD = 2DC = a (Hình vẽ minh họa). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
.png)
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{1 - 2x}}\) là
-
Diện tích xung quanh của một hình nón có độ dài đường sinh l(m), bán kính đáy \(\frac{3}{\pi }\,(m)\) là:
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt \(P = {\log _a}{b^3} + {\log _{{a^2}}}{b^6}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\) là
-
Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(2a\sqrt 2 \). Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
-
Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: \({z^2} - 4z + 9 = 0\). Tìm tọa độ của điểm biểu diễn số phức \(\omega = \left( {1 + i} \right){z_0}\).
-
Nghiệm của phương trình 2x = 4 là
-
Mô đun của số phức \(z = \left( {3 + 2i} \right)i\) là
-
Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên dưới. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [1;2020] để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} - 2{x^2} + m} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của S là?
.png)
-
Trên không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(2;5;-3) trên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC. Mặt phẳng \((\alpha)\) qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.AMPN. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số \(\dfrac{V_1}V\)?
-
Khẳng định nào sau đây là sai?
