Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z-3 i|=5 \text { và } \frac{z}{z-4}\)là số thuần ảo
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } z=a+b i ;(a ; b \in \mathbb{R}) \text { . }\\ &\text { Tu già thiết, ta có }\\ &|z-3 i|=5 \Leftrightarrow|a+(b-3) i|=5 \Leftrightarrow a^{2}+(b-3)^{2}=25\,\,\,(1)\\ &\text { Lại có } \frac{z}{z-4}=\frac{a+b i}{(a-4)+b i} \text { điều kiện } z-4 \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 4 \text { . }\\ &=\frac{(a+b i)(a-4-b i)}{(a-4)^{2}+b^{2}}=\frac{a(a-4)+b^{2}}{(a-4)^{2}+b^{2}}+\frac{-4 b}{(a-4)^{2}+b^{2}} \cdot i \text { là số thuần ảo }\\ &\text { khi } a(a-4)+b^{2}=0 (2) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: }\left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}-6 b=16 \\ a^{2}+b^{2}-4 a=0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a=4(l) \\ b=0 \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} a=\frac{16}{13} \\ b=-\frac{24}{13} \end{array}\right. \end{array}\right.\right.\\ &\text { Vậy } z=\frac{16}{13}-\frac{24}{13} i \text { . } \end{aligned}\)
Vậy có 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
