Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau \(\left| {z – 1} \right| = \sqrt {34} , \left| {z + 1 + mi} \right| = \left| {z + m + 2i} \right|\) và sao cho \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) là lớn nhất. Khi đó giá trị \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1},{z_2}\)
Gọi \(z = x + iy,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có \(\left| {z – 1} \right| = \sqrt {34} \Rightarrow M,N\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {34} \)
Mà \(\left| {z + 1 + mi} \right| = \left| {z + m + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi + 1 + mi} \right| = \left| {x + yi + m + 2i} \right|\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + m} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + m} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow 2\left( {m – 1} \right)x + 2\left( {m – 2} \right)y – 3 = 0\)
Suy ra M,N thuộc đường thẳng \(d:2\left( {m – 1} \right)x + 2\left( {m – 2} \right)y – 3 = 0\)
Do đó M,N là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn \(\left( C \right)\)
Ta có \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = MN\) nên \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất
\( \Leftrightarrow MN\) đường kính của \(\left( C \right)\). Khi đó \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2OI = 2\)
