Cho z thỏa \(|z+1-i|=|z-1+2 i|\). Giá trị nhỏ nhất của \(|(3+4 i) z-5+10 i|\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi M (x ;y ) biểu diễn số phức \(z=x+y i\)
\(\begin{aligned} &|z+1-i|=|z-1+2 i| \Leftrightarrow|x+1+(y-1) i|=|x-1+(y+2) i|\\ &\Leftrightarrow 4 x-6 y-3=0 \text { là đường thẳng } d \text { . }\\ &\text { Có }|(3+4 i) z-5+10 i|=|(3+4 i) z+(3+4 i)( 1+2) i|=|(3+4 i)( z+1+2 i)|\\ &=|3+4 i||z+1+2 i|=5 A M \text { với } A(-1 ;-2) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &|(3+4 i) z-5+10 i|_{\min } \Leftrightarrow A M_{\min } \Leftrightarrow M \text { là hình chiếu của } A \text { lên đường thẳng } d\\ &\text { Khi đó: }\\ &|(3+4 i) z-5+10 i|_{\min }=5 A M_{\min }=5 d(A ; d)=5 \cdot \frac{|4 \cdot-1-6 \cdot-2-3|}{\sqrt{4^{2}+-6^{2}}}=\frac{25}{\sqrt{52}}=\frac{25 \sqrt{13}}{26} \end{aligned}\)
