Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + 4 – i} \right| + \left| {z – 2 + i} \right|\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử z = x + yi có điểm biểu diễn là \(M\left( {x\,;\,y} \right)\).
Ta có \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\).
Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm \(I\left( { – 1\,;\,0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 \).
Gọi \(A\left( { – 4\,;\,1} \right), B\left( {2\,;\, – 1} \right)\). Khi đó ta thấy I là trung điểm của đoạn AB.
Xét tam giác MAB có có \(M{I^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} – \frac{{A{B^2}}}{4} \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\)
Do đó \(T = \left| {z + 4 – i} \right| + \left| {z – 2 + i} \right| = MA + MB\).
Suy ra \({T^2} = {\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 2\left( {2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {T^2} \le 2\left( {2{R^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}} \right) = 52 \Leftrightarrow T \le 2\sqrt {13} \)
Vậy giá trị lớn nhất của T bằng \(2\sqrt {13} \) khi \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\M \in \left( I \right)\end{array} \right.\).
