Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + 2 – i} \right| – \left| {z – 2 – 3i} \right| = 2\sqrt 5 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M\left( {a;\,b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z.
Gọi \(A\left( { – 2;\,1} \right), B\left( {2;\,3} \right)\) là điểm biểu diễn hai số phức \({z_1} = – 2 + i,\,\,{z_2} = 2 + 3i\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,2} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt 5 \).
Theo giả thiết ta có \(MA – MB = 2\sqrt 5 = AB\) nên suy ra M nằm trên đường thẳng AB và nằm ngoài khoảng AB về phía B.
Ta có phương trình đường thẳng \(AB:\,x – 2y + 4 = 0\).
Vì \(M\left( {a;\,b} \right) \in AB \Rightarrow a – 2b + 4 = 0 \Rightarrow a = 2b – 4\).
Vì M nằm ngoài đoạn AB về phía B nên \(a = 2b – 4 \ge 2 \Rightarrow b \ge 3\)
Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {2b – 4} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {5{{\left( {b – \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} \ge \sqrt {5{{\left( {3 – \frac{8}{5}} \right)}^2} + \frac{{16}}{5}} = \sqrt {13} \).
