Xét các số phức thỏa \(|z-2-4 i|=2 . \text { Gọi } z_{1}, z_{2}\) là hai số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất.Tổng phần ảo của bằng \(z_{1}, z_{2}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M(x ; y) \text { biểu diễn số phức } z=x+y i\)
\(|z-2-4 i|=2 \Leftrightarrow|(x-2)+(y-4) i|=2 \Leftrightarrow(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=4\)
Suy ra tập hợp điểm M ( x; y ) là đường tròn ( C ) tâm I(2;4) bán kính R= 2
\(O I:\left\{\begin{array}{l} q u a O(0 ; 0) \\ \vec{u}(2 ; 4) \end{array} \Rightarrow O I:\left\{\begin{array}{l} x=2 t \\ y=4 t \end{array}\right.\right.\)
Tọa độ giao điểm của ( ) C và OI là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2t}\\ {y = 4t}\\ {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 4)}^2} = 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{ - 10 - 2\sqrt 5 }}{5}\\ y = \frac{{ - 20 - 4\sqrt 5 }}{5} \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{ - 10 + 2\sqrt 5 }}{5}\\ y = \frac{{ - 20 + 4\sqrt 5 }}{5} \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Vậy tổng phần ảo của \(z_{1}, z_{2} \text { bằng } \frac{-20+4 \sqrt{5}}{5}+\frac{-20-4 \sqrt{5}}{5}=-8\)