Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 \) và \({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó \(\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
\({\left( {z + 2i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right]^2} = {x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i\).
Theo giả thiết ta có \({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo nên \({x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + 2\\x = – \left( {y + 2} \right)\end{array} \right.\).
Với x = y + 2 thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình \(2{y^2} = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow {z_1} = 2\).
Với \(x = – \left( {y + 2} \right)\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình \(2{y^2} – 4y – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 + \sqrt 5 \\y = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_2} = – 3 – \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i\\{z_3} = – 3 + \sqrt 5 + \left( {1 – \sqrt 5 } \right)i\end{array} \right.\).
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu hỏi liên quan
-
Nghiệm của phương trình \(z^{2}-z+3=0\) trên tập số phức là?
-
Gọi \(z_1;z_2\) , là hai nghiệm phức của phương trình \(z^{2}+2 \sqrt{2} z+8=0\) . Tính giá trị của biểu thức \(T=\left|z_{1}^{4}\right|+\left|z_{2}^{4}\right|\)
-
Tìm phần ảo b của số phức \( {\rm{w}} = \frac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)\) với z = 5 - 3i.
-
Điểm A trong hình vẽ bên dưới biểu diễn cho số phức z.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình \(z^{2}-2 z+2=0 \quad(z \in \mathbb{C})\). Tính giá trị của biểu thức \(P=2\left|z_{1}+z_{2}\right|+\left|z_{1}-z_{2}\right|\)
-
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \(z(2-i)+13 i=1\)
-
Phần ảo của số phức \(z=(2-3 i)(3+2 i)\) là:
-
Cho số phức z = m + 1 + mi với (m thuộc R). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc ( - 5;5 ) sao cho \( \left| {z - 2i} \right| > 1\)
-
Cho số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(z + 2 + i – \left| z \right|\left( {1 + i} \right) = 0\) và \(\left| z \right| > 1\). Tính P = a + b.
-
Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức. \(z =| 1- \sqrt3i| (1+ 2i ) + |3 - 4i| (2 + 3i )\)Giá trị của a - b là
-
Có bao nhiêu số phức z thoả mãn \(|z|(z-4-i)+2 i=(5-i) z\)
-
Cho số phức \( z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9}\)
-
Số phức z=(1+i)2 bằng
-
Cho \(z=x+y i \text { thỏa mãn }|z+3 i|=|z+2-i| \text { và } z\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm \(x-2 y\)
-
Cho số phức z thỏa \(|z+2-2 i|=|z-4 i|\) . Giá trị nhỏ nhất của \(|i z+1|\) bằng
-
Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức \(i z+2 \bar{z}=1+2 i\)
-
Điểm biểu diễn số phức (z = 2 - 3i ) có tọa độ là:
-
Cho số phức \(z=1-i+i^{3}\) . Tìm phần thực a và phần ảo b của z
-
Số phức \(z = (1+ 2i )(2 - 3i )\)bằng
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z – \overline z } \right| = 4.\) Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {z – 2 – 2i} \right|.\) Đặt A = M + m. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
