Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 \) và \({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó \(\left| {z + 1 – 3i} \right| = 3\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
\({\left( {z + 2i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right]^2} = {x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} + 2x\left( {y + 2} \right)i\).
Theo giả thiết ta có \({\left( {z + 2i} \right)^2}\) là số thuần ảo nên \({x^2} – {\left( {y + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + 2\\x = – \left( {y + 2} \right)\end{array} \right.\).
Với x = y + 2 thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình \(2{y^2} = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow {z_1} = 2\).
Với \(x = – \left( {y + 2} \right)\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình \(2{y^2} – 4y – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 + \sqrt 5 \\y = 1 – \sqrt 5 \end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_2} = – 3 – \sqrt 5 + \left( {1 + \sqrt 5 } \right)i\\{z_3} = – 3 + \sqrt 5 + \left( {1 – \sqrt 5 } \right)i\end{array} \right.\).
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
