Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn \(f(x)+x f\left(1-x^{2}\right)+3 f(1-x)=\frac{1}{x+1}\).Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ } f(x)+x f\left(1-x^{2}\right)+3 f(1-x)=\frac{1}{x+1}\\ &\Rightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} x f\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \mathrm{~d} x=\left.\ln |x+1|\right|_{0} ^{1}=\ln 2 \cdot\left(^{*}\right)\\ &\text { +) Đặt } u=1-x^{2} \Rightarrow d u=-2 x d x \text { ; Với } x=0 \Rightarrow u=1 \text { và } x=1 \Rightarrow u=0 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{0}^{1} x f\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \quad(1) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { +) Đặt } u=1-x \Rightarrow \mathrm{d} u=-\mathrm{d} x \text { ; Vói } x=0 \Rightarrow t=1 \text { và } x=1 \Rightarrow t=0 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{0}^{1} x f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} t\quad(2) . \end{aligned}\)
Thay (1), (2) vào (*) ta được:
\(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\ln 2 \Rightarrow \frac{9}{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\ln 2 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{9} \ln 2\)
Câu hỏi liên quan
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{a} x \sqrt{x+1} d x\) có giá trị:
-
Cho \(\int_{0}^{1} f(2 x+1) \mathrm{d} x=12 \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\sin ^{2} x\right) \sin 2 x \mathrm{~d} x=3 . \text { Tính } \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{100} x(x-1) \ldots(x-100) \mathrm{d} x\) bằng
-
Tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\left(x^{3}+2 x\right) \cos x+x \cos ^{2} x}{\cos x} d x\) có giá trị là:
-
Biết\(\int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d} x}{(x+2)(x+4)}=a \ln 2+b \ln 5+c \ln 7,(a, b, c \in \mathbb{Q})\). Giá trị của biểu thức bằng 2a+3b-c
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = x3, trục hoành và hai đường thẳng x = -2, x = 2
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4x}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\ { - 2x + 12}&{{\rm{ khi }}x \le 2} \end{array}} \right.\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\frac{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx+\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{e}^{2x}}.f\left( 1+{{e}^{2x}} \right)dx}\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3{x^2} + 2x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {5 - x}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\). Khi đó \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xf\left( \sin x \right)}dx\) bằng
-
Nếu \(\int_{1}^{3}[f(x)-2 x] \mathrm{d} x=5 \text { thì } \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }\)
-
Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
-
Tính tích phân sau \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {{x^3} - 1} \right)dx\)
-
Cho số thực a thỏa mãn \(\int_{1}^{a} e^{x+1} d x=e^{4}-e^{2}\) , khi đó a có giá trị bằng
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex; y = 1 và x = 1 là
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ – x}}{\rm{d}}x} \).
-
Giá trị của \(\int\limits_0^2 {2{e^{2x}}{\rm{d}}x} \) là:
-
Cho \(\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 2019; 4f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = 2020\). Tính \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x} \)
-
Cho hàm số \(y=f(x)>0\) xác định, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn:\(g(x)=1+2018 \int^{x} f(t) \mathrm{dt}, g(x)=f^{2}(x)\). Tính \(\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x\)
-
Cho parabol (P) có đồ thị như hình vẽ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) với trục hoành.
-
Nếu \(\mathop \smallint \nolimits_2^5 f\left( x \right)dx = 3,\;\mathop \smallint \nolimits_5^7 f\left( x \right)dx = 9\) thì \(\mathop \smallint \nolimits_2^7 f\left( x \right)dx = ?\)
-
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3\). Diện tích của (H) bằng
