Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn \(f(x)+x f\left(1-x^{2}\right)+3 f(1-x)=\frac{1}{x+1}\).Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ } f(x)+x f\left(1-x^{2}\right)+3 f(1-x)=\frac{1}{x+1}\\ &\Rightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\int_{0}^{1} x f\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \mathrm{~d} x=\left.\ln |x+1|\right|_{0} ^{1}=\ln 2 \cdot\left(^{*}\right)\\ &\text { +) Đặt } u=1-x^{2} \Rightarrow d u=-2 x d x \text { ; Với } x=0 \Rightarrow u=1 \text { và } x=1 \Rightarrow u=0 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{0}^{1} x f\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \quad(1) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { +) Đặt } u=1-x \Rightarrow \mathrm{d} u=-\mathrm{d} x \text { ; Vói } x=0 \Rightarrow t=1 \text { và } x=1 \Rightarrow t=0 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{0}^{1} x f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} t\quad(2) . \end{aligned}\)
Thay (1), (2) vào (*) ta được:
\(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\ln 2 \Rightarrow \frac{9}{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\ln 2 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{9} \ln 2\)
Câu hỏi liên quan
-
Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện \(2 f(x)+3 f(1-x)=x \sqrt{1-x}.\) Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x\)
-
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
-
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn \(\int_{-1}^{1} f(x) d x=\int_{-2}^{2} f(x) d x ?\)
-
Giá trị của tích phân \( I=\int_{-1}^{0} \frac{x^{3}-3 x^{2}+2}{x^{2}+x-2} d x\) gần nhất với gái trị nào sau đây?
-
Cho hàm số \(y=f(x)>0\) xác định, có đạo hàm trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn \(g(x)=1+2018 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text { và } g(x)=f^{2}(x)\) . Tính \(\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x\)
-
Ta có tích phân \(I = 4\mathop \smallint \nolimits_1^e x\left( {1 + \ln x} \right)dx = a.{e^2} + b.\). Tính M = ab+4(a+b) (trong đó a,b ∈ Z)
-
Biết rằng tích phân \(\int_{0}^{4} \frac{(x+1) e^{x}}{\sqrt{2 x+1}} d x=a e^{4}+b\). Tính \(T=a^{2}-b^{2}\)
-
Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường \(x=0, x=1, y=0 \text { và } y=\sqrt{2 x+1}\). Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức?
-
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó hiệu số F(0) – F(1) bằng
-
Nếu \(\int_{ – 2}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\) thì \(\int_{ – 2}^1 {\left[ {f\left( x \right) + 3} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin ^{2} x \tan x d x\)có giá trị bằng
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn các điều kiện \(f(1)=2, f(x) \neq 0, \forall x>0 \text { và }\left(x^{2}+1\right)^{2} f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}\left(x^{2}-1\right)\)
với mọi x > 0 . Giá trị của f (2) bằng -
Tích phân: \(J = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{xdx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx\) bằng
-
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I(2;5) và có trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại của đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó
-
Cho\(\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{3}+1} d x=\frac{1}{3} \ln a, a\) là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
-
Cho hàm số \(f(x) \neq 0\) thỏa mãn điều kiện \(f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \text { và } f(0)=\frac{-1}{2}\) . Biết tổng \(f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018)=\frac{a}{b} \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \text { và } \frac{a}{b}\) là phân số tối giản.
Mệnh đề nào sau đây đúng? -
Giả sử là hàm số f(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba số bất kỳ trên khoảng K. Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ . Biết \(f\left(x^{3}+2 x-2\right)=3 x-1\) . Giá trị của \(I=\int\limits_{1}^{10} f(x) d x\) là:
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{x d x}{(x+1)^{3}}\) bằng
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}-1\), trục hoành và đường thẳng x = 4 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
