Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \(\vec{u}=(4 ; 1) \text { và } \vec{v}=(1 ; 4)\) Tìm m để \(\vec{a}=m \cdot \vec{u}+\vec{v}\)tạo với vectơ \(\vec{b}=\vec{i}+\vec{j}\)một góc 450 .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\left\{\begin{array}{l} \vec{a}=m \cdot \vec{u}+\vec{v}=(4 m+1 ; m+4) \\ \vec{b}=\vec{i}+\vec{j}=(1 ; 1) \end{array}\right.\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b})=\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow \frac{{(4m + 1) + (m + 4)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{{(4m + 1)}^2} + {{(m + 4)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{5(m + 1)}}{{\sqrt 2 \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\ { \Leftrightarrow 5(m + 1) = \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m + 1 \ge 0}\\ {25{m^2} + 50m + 25 = 17{m^2} + 16m + 17} \end{array} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}} \right.} \end{array} \end{array}\)