Tìm tất cả các số thực m biết \(z = \frac{{i – m}}{{1 – m(m – 2i)}}\) và \(z.\overline z = \frac{{2 – m}}{2}\) trong đó i là đơn vị ảo.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVì z đang còn rất phức tạp, đặc biệt là dưới mẫu do đó chúng ta nghĩ ra việc làm đơn giản nó về dạng chuẩn \(z = a + bi(a,b \in \mathbb{R})\) sau đó tìm được \(\overline z \) và thay vào biểu thức \(z.\overline z \)
Ta có \(z = \frac{{i – m}}{{1 – m(m – 2i)}} = \frac{{(1 – m)(1 – {m^2} – 2mi)}}{{{{(1 – {m^2})}^2} + 4{m^2}}} = \frac{{ – m(1 – {m^2}) + 2m + i(1 – {m^2} + 2{m^2})}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}}\)
\( = \frac{{m(1 + {m^2}) + i(1 + {m^2})}}{{{{(1 + {m^2})}^2}}} = \frac{m}{{1 + {m^2}}} + \frac{i}{{1 + {m^2}}}\)
\(\Rightarrow \overline z = \frac{m}{{1 + {m^2}}} – \frac{i}{{1 + {m^2}}}\)
Như vậy:
\(z.\overline z = \frac{{2 – m}}{2} \Rightarrow \frac{{{m^2} + 1}}{{{{({m^2} + 1)}^2}}} = – \frac{1}{2}(m – 2) \Leftrightarrow \frac{1}{{{m^2} + 1}} = – \frac{1}{2}(m – 2)\)
\( \Leftrightarrow {m^3} – 2{m^2} + m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = 1}\end{array}} \right.\)
