Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt{\log _{2}^{2}x+{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{x}^{2}}-3}=m\left( {{\log }_{4}}{{x}^{2}}-3 \right)\) có nghiệm thuộc \(\left[ 32;+\infty \right)\) ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(x>0.\) Khi đó phương trình tương đương: \(\sqrt{\log _{2}^{2}x-2{{\log }_{2}}x-3}=m\left( {{\log }_{2}}x-3 \right)\).
Đặt \(t={{\log }_{2}}x\) với \(x\ge 32\Rightarrow {{\log }_{2}}x\ge {{\log }_{2}}32=5\) hay \(t\ge 5.\)
Phương trình có dạng \(\sqrt{{{t}^{2}}-2t-3}=m\left( t-3 \right)\text{ }\left( * \right)\).
Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm \(m\) để phương trình (*) có nghiệm \(t\ge 5\)”
Với \(t\ge 5\) thì \((*)\Leftrightarrow \sqrt{\left( t-3 \right).\left( t+1 \right)}=m\left( t-3 \right)\Leftrightarrow \sqrt{t-3}.\left( \sqrt{t+1}-m\sqrt{t-3} \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{t+1}-m\sqrt{t-3}=0\Leftrightarrow m=\sqrt{\frac{t+1}{t-3}}\)
Ta có \(\frac{t+1}{t-3}=1+\frac{4}{t-3}.\) Với \(t\ge 5\Rightarrow 1<1+\frac{4}{t-3}\le 1+\frac{4}{5-3}=3\) hay \(1<\frac{t+1}{t-3}\le 3\Rightarrow 1<\sqrt{\frac{t+1}{t-3}}\le \sqrt{3}\)
Suy ra \(1<m\le \sqrt{3}.\)
Vậy phương trình có nghiệm với \(1<m\le \sqrt{3}.\)
