Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số để phương trình \(\log _{1+\sqrt{2}}(x+m-1)+\log _{\sqrt{2}-1}\left(x^{2}-m x+2 m-1\right)=0\) có hai nghiệm phân biệt.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Điều kiện: }\left\{\begin{array}{l} x+m-1>0 \\ x^{2}-m x+2 m-1>0 \end{array}\right.\\ &\text { Khi đó phương trình đã cho tương đương với } \log _{1+\sqrt{2}}(x+m-1)=\log _{\sqrt{2}+1}\left(x^{2}-m x+2 m-1\right) \end{aligned}\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x + m - 1 > 0 } \\ { x + m - 1 = x ^ { 2 } - m x + 2 m - 1 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x>1-m \\ x^{2}-m x-x+m=0 \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { x > 1 - m } \\ { ( x - m ) ( x - 1 ) = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x>1-m \\ {\left[\begin{array}{l} x=m \\ x=1 \end{array}\right.} \end{array}\right.\right.\)
\(\text { Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì }\left\{\begin{array} { l } { m \neq 1 } \\ { m + m - 1 > 0 } \\ { 1 + m - 1 > 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m>\frac{1}{2} \\ m \neq 1 \end{array}\right.\right. \text { . }\)
