Tam giác ABC vuông tại A , có \(A B=c, A C=b\) . Gọi \(\ell_{a}\) là độ dài đoạn phân giác trong góc BAC . Tính \(\ell_{a}\) theo b và c .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Ta có \(B C=\sqrt{A B^{2}+A C^{2}}=\sqrt{b^{2}+c^{2}}\)
Do AD là phân giác trong của
\(\Rightarrow B D=\frac{A B}{A C} \cdot D C=\frac{c}{b} \cdot D C=\frac{c}{b+c} \cdot \mathrm{BC}=\frac{c \sqrt{b^{2}+c^{2}}}{b+c}\)
Theo định lí hàm cosin, ta có
\(\begin{array}{l} B D^{2}=A B^{2}+A D^{2}-2 \cdot A B \cdot A D \cdot \cos \widehat{ A B D} \Leftrightarrow \frac{c^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)}{(b+c)^{2}}=c^{2}+A D^{2}-2 c \cdot A D \cdot \cos 45^{\circ} \\ \Rightarrow A D^{2}-c \sqrt{2} \cdot A D+\left(c^{2}-\frac{c^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)}{(b+c)^{2}}\right)=0 \Leftrightarrow A D^{2}-c \sqrt{2} \cdot A D+\frac{2 b c^{3}}{(b+c)^{2}}=0 \\ \Rightarrow A D=\frac{\sqrt{2} b c}{b+c} \text { hay } \ell_{a}=\frac{\sqrt{2} b c}{b+c} \end{array}\)
