Phương trình \(\sin ^{4}\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^{2} \frac{x}{2}(\sin x+3)+\sin x+2=0\) có các nghiệm là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\mathrm{t}=\sin ^{2} \frac{x}{2} \Rightarrow t \in[0 ; 1], \forall x \in \mathbb{R}\)
Phương trình trở thành
\(t^{2}-(\sin x+3) t+\sin x+2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=1 \\ t=\sin x+2(2) \end{array}\right.\)
Với \(\mathrm{t}=1 \Leftrightarrow \sin ^{2} \frac{x}{2}=1 \Leftrightarrow \frac{1-\cos x}{2}=1 \Leftrightarrow \cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k 2 \pi \Leftrightarrow x=(2 \mathrm{k}+1) \pi,(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\)
Với \(t=\sin x+2 \Leftrightarrow \sin ^{2} \frac{x}{2}=\sin x+2\)
\(\left\{\begin{array}{l} \sin ^{2} \frac{x}{2} \leq 1 \\ \sin x+2 \geq 1 \end{array} \Rightarrow \sin ^{2} \frac{x}{2}=\sin x+2 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \sin ^{2} \frac{x}{2}=1 \\ \sin x+2=1 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \cos x=-1 \\ \sin x=-1 \end{array}\right.\text { (vônghiệm) }\right.\right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=(2 \mathrm{k}+1) \pi,(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\)
