Phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=x\left( 2-x \right)+{{\log }_{3}}x\) có bao nhiêu nghiệm?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện x > 0
Phương trình tương đương với \({{\log }_{3}}\left( \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x} \right)=2x-{{x}^{2}}\)
Ta có \(2x-{{x}^{2}}=1-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 1\)
Và \({{\log }_{3}}\left( \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x} \right)={{\log }_{3}}\left( x+\frac{1}{x}+1 \right)={{\log }_{3}}\left( {{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{2}}+3 \right)\ge {{\log }_{3}}3=1\)
Do đó \({\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + x + 1}}{x}} \right) = 2x - {x^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\ \sqrt x - \frac{1}{{\sqrt x }} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)
