Nghiệm của phương trình \(\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 2\sin x\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo \(\sqrt 2 \sin \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = \sin x + \cos x\) nên phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
\(\sqrt 2 {\sin ^3}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 2\sin x \)
\(\Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x\)
Dễ thấy \(\cos x=0\) không thỏa mãn phương trình trên.
Với điều kiện \(\cos x \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\ne 0\) ta được:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} = 4\sin x\\
\Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^3}}}{{{{\cos }^3}x}} = \frac{{4\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}}} \right)^3} = \frac{{4\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow {\left( {\tan x + 1} \right)^3} = 4\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3{\tan ^2}x + 3\tan x + 1 = 4\tan x + 4{\tan ^3}x\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \tan x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow 3{\tan ^2}x\left( {\tan x - 1} \right) + \left( {\tan x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \tan x - 1 = 0\,\,\left( {do\,3{{\tan }^2}x + 1 > 0} \right)\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}\)
Vậy \(x = {\pi \over 4} + k\pi \).
