Nghiệm của phương trình √2sin3(x+π4)=2sinx√2sin3(x+π4)=2sinx là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo √2sin(x+π4)=sinx+cosx√2sin(x+π4)=sinx+cosx nên phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:
√2sin3(x+π4)=2sinx√2sin3(x+π4)=2sinx
⇔(sinx+cosx)3=4sinx⇔(sinx+cosx)3=4sinx
Dễ thấy cosx=0cosx=0 không thỏa mãn phương trình trên.
Với điều kiện cosx≠0,cosx≠0, ta chia hai vế của phương trình cho cos3x≠0cos3x≠0 ta được:
(sinx+cosx)3=4sinx⇔(sinx+cosx)3cos3x=4sinxcos3x⇔(sinx+cosxcosx)3=4sinxcosx.1cos2x⇔(tanx+1)3=4tanx(1+tan2x)⇔tan3x+3tan2x+3tanx+1=4tanx+4tan3x⇔3tan3x−3tan2x+tanx−1=0⇔3tan2x(tanx−1)+(tanx−1)=0⇔(tanx−1)(3tan2x+1)=0⇔tanx−1=0(do3tan2x+1>0)⇔tanx=1⇔x=π4+kπ(sinx+cosx)3=4sinx⇔(sinx+cosx)3cos3x=4sinxcos3x⇔(sinx+cosxcosx)3=4sinxcosx.1cos2x⇔(tanx+1)3=4tanx(1+tan2x)⇔tan3x+3tan2x+3tanx+1=4tanx+4tan3x⇔3tan3x−3tan2x+tanx−1=0⇔3tan2x(tanx−1)+(tanx−1)=0⇔(tanx−1)(3tan2x+1)=0⇔tanx−1=0(do3tan2x+1>0)⇔tanx=1⇔x=π4+kπ
Vậy x=π4+kπx=π4+kπ.