Nghiệm của phương trình \(2 \sin 3 x-\frac{1}{\sin x}=2 \cos 3 x+\frac{1}{\cos x}\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Điều kiện: } \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \frac{\pi}{2}\\ &\begin{aligned} &(*) \Leftrightarrow 2(\sin 3 x-\cos 3 x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \\ &\Leftrightarrow 2\left[3(\sin x+\cos x)-4\left(\sin ^{3} x+\cos ^{3} x\right]=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}\right. \\ &\Leftrightarrow 2(\sin x+\cos x)\left[3-4\left(\sin ^{2} x-\sin x \cos x+\cos ^{2} x\right)\right]=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x \cos x} \\ &\Leftrightarrow 2(\sin x+\cos x)(-1+4 \sin x \cos x)-\frac{\sin x+\cos x}{\sin x \cos x}=0 \\ &\Leftrightarrow(\sin x+\cos x)\left(-2+8 \sin x \cos x-\frac{1}{\sin x \cos x}\right)=0 \\ &\Leftrightarrow(\sin x+\cos x)\left(4 \sin 2 x-\frac{2}{\sin 2 x}-2\right)=0 \\ &\Leftrightarrow(\sin x+\cos x)\left(4 \sin ^{2} 2 x-2 \sin 2 x-2\right)=0 \end{aligned} \end{aligned}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { \operatorname { s i n } x + \operatorname { c o s } x = 0 } \\ { 4 \operatorname { s i n } ^ { 2 } 2 x - 2 \operatorname { s i n } 2 x - 2 = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} \tan x=-1 \\ \sin 2 x=1 \\ \sin 2 x=-1 / 2 \end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=\pm \frac{\pi}{4}+k \pi \\ x=-\frac{\pi}{12}+k \pi \\ x=\frac{7 \pi}{12}+k \pi \end{array}\right.\)
