Elip qua điểm \(M\left( {2;\frac{5}{3}} \right)\) và có một tiêu điểm F(-2;0). Phương trình chính tắc của elip là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi phương trình chính tắc của Elip là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\) với a > b > 0
Elip có một tiêu điểm là F(-2;0) suy ra \(c = 2 \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 4\) (1)
Elip đi qua điểm \(M\left( {2;\frac{5}{3}} \right)\) suy ra \(\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{5}{3}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{25}}{{9{b^2}}} = 1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\left\{ \begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + 4\\ \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{{25}}{{9{b^2}}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = {b^2} + 4\\ \frac{4}{{{b^2} + 4}} + \frac{{25}}{{9{b^2}}} = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 9\\ {b^2} = 5 \end{array} \right..\)
Vậy phương trình cần tìm là \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1.\)
