Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Thể tích của khối tứ diện ABCD là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi M là trung điểm của CD, H là trọng tâm của tam giác BCD.
Ta có \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) (giả thiết ABCD là tứ diện đều) suy ra \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\rm{\Delta }}}_{BCD}.AH\)
Trong ΔBCD: \(CD = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BM = \frac{{\sqrt 3 a}}{2} \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}BCD}} = \frac{1}{2}.CD.BM = \frac{1}{2}.a.\frac{{\sqrt 3 a}}{2} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}.\)
Trong ΔABH: \(AB = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BH = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 a}}{2} = \frac{{\sqrt 3 a}}{3} \Rightarrow AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt 3 }}.\)
Vậy \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{\rm{\Delta }}}_{BCD}.AH = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}.\frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}}.\)
