Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài cạnh bên bằng a; đáy là hình thoi, diện tích của hai mặt chéo là \({{S}_{1}}\) và \({{S}_{2}}\); góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt chéo là \(\alpha .\) Tính thể tích V của khối hộp đã cho.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi O và O' theo thứ tự là tâm của hai mặt đáy \(ABCD,A'B'C'D'.\)
Hai mặt chéo \(\left( ACC'A' \right)\) và \(\left( B\text{DD}'B' \right)\) có giao tuyến là \(\text{OO}',\) có diện tích theo thứ tự \({{S}_{1}},{{S}_{2}}.\)
.png)
Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(\text{OO}'\) tại \(I,\) cắt các cạnh bên \(\text{AA}',BB',CC',\text{DD}'\) theo thứ tự tại \(E,F,G,H\) (\(\left( P \right)\bot \) các cạnh bên).
Ta có: \(EG,HF\bot \text{OO }\!\!'\!\!\text{ }\) tại \(I\Rightarrow \widehat{EIH}=\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng chéo \(\left( ACC'A' \right)\) và \(\left( B\text{DD}'B' \right)\).
\(\text{EF}GH\) là một thiết diện thẳng của hình hộp và là một hình bình hành.
Do đó , ta có thể tích V của hình hộp là:
\(V={{S}_{EFGH}}.AA'=\frac{1}{2}.EG.HF.AA'.\sin \alpha \)
Ta lại có: \({{S}_{1}}={{S}_{ACC'A'}}=EG.\text{AA }\!\!'\!\!\text{ }\Leftrightarrow \text{EG=}\frac{{{S}_{1}}}{a};\,\,\,\,\,{{S}_{2}}={{S}_{B\text{DD}'B'}}=HF.BB'\Leftrightarrow HF=\frac{{{S}_{2}}}{a}\)
\(\Rightarrow V=\frac{1}{2}.\frac{{{S}_{1}}}{a}.\frac{{{S}_{2}}}{a}a.\sin \alpha =\frac{{{S}_{1}}{{S}_{2}}\text{cos}\alpha }{2a}.\)
