Cho \(I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{a}} \frac{{\sin 2x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx\) với giá trị nguyên nào của aa thì \(I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{a}} \frac{{\sin 2x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx = \ln 2?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} I = \smallint _0^{\frac{\pi }{a}}\frac{{\sin 2x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx = \smallint _0^{\frac{\pi }{a}}\frac{{d(1 + {{\sin }^2}x)}}{{1 + {{\sin }^2}x}} = ln(1 + si{n^2}x)\mid _0^{\frac{\pi }{a}} = ln(1 + si{n^2}(\frac{\pi }{a})) = ln2 \Leftrightarrow sin2(\frac{\pi }{a}) = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin \frac{\pi }{a} = 1\\ \sin \frac{\pi }{a} = - 1 \end{array} \right.\\ \frac{\pi }{a} = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} k \in Z \Rightarrow a = \frac{2}{{4k \pm 1}} \end{array}\)
Vậy aa nguyên ⇔ k = 0 ⇒ a = ±2.
