Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm \(\log _{4}(x+1)^{2}+2=\log _{\sqrt{2}} \sqrt{4-x}+\log _{8}(4+x)^{3}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
ĐK: \(\left\{\begin{array}{l} x+1 \neq 0 \\ 4-x>0 \\ 4+x>0 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} -4<x<4 \\ x \neq-1 \end{array}\right.\right.\)
\(\log _{4}(x+1)^{2}+2=\log _{\sqrt{2}} \sqrt{4-x}+\log _{8}(4+x)^{3}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log _{2}|x+1|+2=\log _{2}(4-x)+\log _{2}(4+x) \Leftrightarrow \log _{2}|x+1|+2=\log _{2}\left(16-x^{2}\right) \\ \Leftrightarrow \log _{2} 4|x+1|=\log _{2}\left(16-x^{2}\right) \Leftrightarrow 4|x+1|=16-x^{2} \end{array}\)
Với \(-1<x<4\) ta có phương trình:
\(x^{2}+4 x-12=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-6\,\,(loại) \end{array}\right.\)
Với \(-4<x<-1\) ta có phương trình:
\(x^{2}-4 x-20=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=2-\sqrt{24} \\ x=2+\sqrt{24}\,\,(loại) \end{array}\right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x=2 \text { hoăc } x=2(1-\sqrt{6})\)
