Cho số phức z thỏa mãn |z|=1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=|z+1|+\left|z^{2}-z+1\right|\) Tính giá trị của M . m .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi } z=x+y i ;(x \in \mathbb{R} ; y \in \mathbb{R}) . \text { Ta có: }|z|=1 \Leftrightarrow z \cdot \bar{z}=1\\ &\text { Đặt } t=|z+1|, \text { ta có } 0=|z|-1 \leq|z+1| \leq|z|+1=2 \Rightarrow t \in[0 ; 2]\\ &\text { Ta có } t^{2}=(1+z)(1+\bar{z})=1+z \cdot \bar{z}+z+\bar{z}=2+2 x \Rightarrow x=\frac{t^{2}-2}{2}\\ &\text { Suy ra }\left|z^{2}-z+1\right|=\left|z^{2}-z+z \cdot \bar{z}\right|=|z||z-1+\bar{z}|=\sqrt{(2 x-1)^{2}}=|2 x-1|=\left|t^{2}-3\right|\\ &\text { Xét hàm số } f(t)=t+\left|t^{2}-3\right|, t \in[0 ; 2] \\&\text { Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra }\\ &\max f(t)=\frac{13}{4} ; \min f(t)=\sqrt{3} \Rightarrow M \cdot n=\frac{13 \sqrt{3}}{4} \end{aligned}\)
