Cho phương trình \( \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của (m ) để phương trình có đúng (3 ) nghiệm phân biệt thuộc \( \left[ {0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} \frac{{2\pi }}{3}} \right]\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\( \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) = m{\sin ^2}x \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {\cos 4x - m\cos x} \right) - m\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left[ {\cos 4x - m\cos x - m\left( {1 - \cos x} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} cosx = - 1\\ cos4x = m \end{array} \right. \end{array}\)
Xét phương trình \( \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \left( {k \in } \right)\)
Phương trình \(cosx=−1\) không có nghiệm trong đoạn \( \left[ {0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} \frac{{2\pi }}{3}} \right]\)
Xét \(cos4x=m\). Ta có \( x \in \left[ {0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} \frac{{2\pi }}{3}} \right] \Leftrightarrow 4x \in \left[ {0;{\mkern 1mu} \frac{{8\pi }}{3}} \right]\)
.PNG)
Quan sát hình vẽ ta thấy,
Với \( 4x \in \left[ {0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 2\pi } \right] \setminus \left\{ \pi \right\}\) và m∈(−1;1] phương trình cos4x=m có 2 nghiệm.
Với \( 4x \in \left( {2\pi {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} \frac{{8\pi }}{3}} \right]\)] và \( m \in \left[ { - \frac{1}{2}{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 1} \right)\) phương trình cos4x=m có 1 nghiệm.
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt thuộc \( \left[ {0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} \frac{{2\pi }}{3}} \right]\) khi \( m \in \left[ { - \frac{1}{2}{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} 1} \right)\)
