Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên bằng 1; đáy \(ABCD\) là một hình chữ nhật có các cạnh \(BA=\sqrt{3},AD=\sqrt{7};\) các mặt bên \(\left( ABB'A' \right)\) và \(\left( ADD'A' \right)\) hợp với mặt đáy các góc theo thứ tự \({{45}^{0}};{{60}^{0}}.\) Thể tích khối hộp là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Dựng \(A'H\bot \left( ABCD \right)\) và \(A'I\bot AB,A'J\bot AD\Rightarrow HI\bot AB,HJ\bot AD.\)
Ta có \(\overset\frown{A'IH}={{45}^{0}};\,\,\overset\frown{A'JH}={{60}^{0}}.\)
Đặt \(A'H=h.\)
Tam giác \(HA'J\) vuông có \(\widehat{A'JH}={{60}^{0}}\) nên là nửa tam giác đều có cạnh \(A'J\), đường cao \(A'H,HJ\) là nửa cạnh \(\Rightarrow A'J=\frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2h\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A'{{J}^{2}}=AA{{'}^{2}}-A'{{J}^{2}}=1-\frac{12{{h}^{2}}}{9}=\frac{9-12{{h}^{2}}}{9}\)
\(\Rightarrow \text{AJ}=\frac{\sqrt{9-12{{h}^{2}}}}{3}\) với \(0<h<\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Tam giác \(HA'I\) vuông cân tại \(H\Rightarrow IH=A'H=h\)
\(A\text{IHJ}\) là hình chữ nhật.
\(AJ=IH\Leftrightarrow \frac{\sqrt{9-12{{h}^{2}}}}{3}=h\Leftrightarrow 9-12{{h}^{2}}=9{{h}^{2}}\Leftrightarrow h=\frac{3}{\sqrt{21}}\)
Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D':V={{S}_{ABCD}}.A'H=\sqrt{3}.\sqrt{7}.\frac{3}{\sqrt{21}}=3\) (đvdt)
