Cho hypebol (H): \( \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tìm phương trình đường chéo của hình chữ nhật tâm O có 4 đỉnh thuộc (H) sao cho hệ số góc các đường chéo là số nguyên.

A. y=2x,y=−2x.

B. y=5x,y=−5x.

C. y=x,y=−x.

D. y=12x,y=−12x

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 10

Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài: Ba đường conic

Lời giải:

Báo sai

Gọi \( A\left( {{x_0};{\mkern 1mu} {y_0}} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\left( { - {x_0};{\mkern 1mu} {y_0}} \right),{\mkern 1mu} C\left( { - {x_0};{\mkern 1mu} - {y_0}} \right);{\mkern 1mu} D\left( {{x_0};{\mkern 1mu} - {y_0}} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ({x_0},{y_0} > 0)\)

là 4 đỉnh của hình chữ nhật ABCD, có tâm O.

\( A,B,C,D \in (H) \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{4} - \frac{{{y_0}^2}}{{16}} = 1(1)\)

Phương trình đường thẳng \( AC:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}x\) và phương trình đường thẳng \( BD:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = - \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}.x\)

Hệ số góc của đường chéo AC,BD lần lượt là:

\( \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}; - \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}\)

Hệ số góc các đường chéo là số nguyên \( \Leftrightarrow \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z,{\mkern 1mu} - \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z \Leftrightarrow \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z.\)

Đặt \( \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = k \in {Z^ + } \Leftrightarrow {y_0} = k{x_0}\) Thay vào (1), ta được:

\( \frac{{{x_0}^2}}{4} - \frac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = \frac{{{x_0}^2}}{4} - 1 \Leftrightarrow {k^2}{x_0}^2 = 4{x_0}^2 - 16 \Leftrightarrow {k^2} = 4 - \frac{{16}}{{{x_0}^2}} (2)\)

Từ (2) ⇒ \(0

Mà

\(\begin{array}{l} k \in Z \Rightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} k = 1(tm)\\ k = - 1(l) \end{array} \right.\\ k = 1 \Rightarrow AC:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD:{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = - x \end{array}\)

Vậy, phương trình đường chéo cần tìm là: y=x,y=−x