Cho hình lăng trụ đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\). Mặt phẳng \(({A}'BC)\) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc \(30{}^\circ \) và tam giác \({A}'BC\) có diện tích bằng \(8{{a}^{2}}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Kẻ đường cao AM của tam giác ABC. Khi đó M là trung điểm của \(BC\Rightarrow BC\bot ({A}'AM)\)
Tam giác \({{A}^{'}}AM\) vuông tại A nên góc A'MA là góc nhọn.
Góc giữa hai mặt phẳng \((A'BC)\) và (ABC) bằng góc giữa \({A}'M\) và AM và bằng góc \(\widehat{{A}'MA}\), bằng \(30{}^\circ \)
Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác \({A}'BC\) trên (ABC)
Suy ra \({{S}_{ABC}}={{S}_{A'BC}}.c\text{os}{{30}^{o}}=4{{a}^{2}}\sqrt{3}\).
Đặt AB=x>0. Diện tích tam giác đều ABC theo x là \({{S}_{ABC}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).
Vậy có \(\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=4{{a}^{2}}\sqrt{3}\Leftrightarrow x=4a\Rightarrow AM=\frac{x\sqrt{3}}{2}=2a\sqrt{3}\)
Tam giác \({A}'MA\) vuông tại A, \(A{A}'=AM.\tan {{30}^{o}}=2a\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}=2a\).
Thể tích của lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) là \(V=A{A}'.{{S}_{ABC}}=2a.\,4{{a}^{2}}\sqrt{3}=8{{a}^{3}}\sqrt{3}\).
