Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A,D;AB=AD=2a,CD=a.\) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD,\) biết hai mặt phẳng \(\left( SBI \right),\left( SCI \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right).\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi \(H\) trung điểm của \(BC,I\) là hình chiếu của \(H\) lên \(BC,J\) là trung điểm \(AB.\)
Ta có \(SI\bot mp\left( ABCD \right),IC=\sqrt{I{{D}^{2}}+D{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
\(IB=\sqrt{I{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{5}\) và \(BC=IB=\sqrt{C{{J}^{2}}+J{{B}^{2}}}=a\sqrt{5}\)
\({{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}AD\left( AB+CD \right)=3{{a}^{2}}\,\,;\,\,\,\,{{S}_{IAB}}=\frac{1}{2}.IA.AB={{a}^{2}}\) và \({{S}_{CID}}=\frac{1}{2}.DC.DI=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\)
\(\Rightarrow {{S}_{IBC}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{IAB}}-{{S}_{DIC}}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}.\)
Mặt khác \({{S}_{IBC}}=\frac{1}{2}IH.BC,\) nên \(IH=\frac{2{{S}_{IBC}}}{BC}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}}a.\)
\(SI=IH.\tan {{60}^{0}}\frac{9\sqrt{3}}{5}a.\)
Do đó \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}=\frac{3\sqrt{15}}{5}{{a}^{3}}.\)
