Cho hình bình hành ABCD , M là điểm thỏa mãn \(5 \overrightarrow{A M}+2 \overrightarrow{C A}=\overrightarrow{0}\). Trên các cạnh AB , BC lần lượt lấy các điểm P Q , sao cho \(M P / / B C, M Q / / A B\). Gọi N là giao điểm của AQ và CP . Giá trị của tổng \(\frac{A N}{A Q}+\frac{C N}{C P}\)bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Đặt } \overrightarrow{A N}=x \overrightarrow{A Q}, \overrightarrow{C N}=y \overrightarrow{C P}\\ &\text { Vì } M Q / / A B, M P / / B C \Rightarrow \frac{B Q}{B C}=\frac{A P}{A B}=\frac{A M}{A C}=\frac{2}{5}\\ &\text { Ta có: } \overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B Q}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{5}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}+\frac{3}{2} \overrightarrow{A P}\\ &\text { Nên } \overrightarrow{A N}=x \overrightarrow{A Q}=\frac{2}{5} x \overrightarrow{A C}+\frac{3}{2} x \overrightarrow{A P}\\ &\text { Do } N, C, P \text { thẳng hàng nên } \frac{2}{5} x+\frac{3}{2} x=1 \Rightarrow x=\frac{10}{19}\\ &\text { Mặt khác } \overrightarrow{C N}=y \overrightarrow{C P} \Leftrightarrow \overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A C}=y(\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{A C}) \Rightarrow \overrightarrow{A N}=(1-y) \overrightarrow{A C}+y \overrightarrow{A P}\\ &\text { Tử (1) và (2) suy ra } y=\frac{3}{2} x=\frac{15}{19} \text { . Do đó } \frac{A N}{A Q}+\frac{C N}{C P}=x+y=\frac{25}{19} . \end{aligned}\)
