Cho hàm số \(y=\frac{-x+2}{x-1}\) có đồ thị (C ) và điểm \(A(a ; 1)\) . Biết \(a=\frac{m}{n}\) (với mọi \(m, n \in N \text { và } \frac{m}{n}\) tối giản ) là giá trị để có đúng một tiếp tuyến của (C ) đi qua A. Khi đó giá trị m+n là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { TXĐ: } R \backslash\{1\} \text { . }\\ &y^{\prime}=-\frac{1}{(x-1)^{2}}\\ &\text { Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ } x_{0}\left(x_{0} \neq 1\right) \text { của (C ) có phương trình. }\\ &y=-\frac{1}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\left(x-x_{0}\right)+\frac{-x_{0}+2}{x_{0}-1} \end{aligned}\)
\(\text { đt }(\Delta) \text { đi qua } A(a ; 1) \Rightarrow 1=-\frac{1}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\left(a-x_{0}\right)-\frac{x_{0}-2}{x_{0}-1} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 x_{0}^{2}-6 x_{0}+a+3=0\,\,(*) \\ x_{0} \neq \end{array}\right.\)
Có duy nhất 1 tiếp tuyến qua A pt(*) có duy nhất 1 nghiệm khác 1
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { \Delta ^ { \prime } = 0 } \\ { 2 . 1 ^ { 2 } - 6 . 1 + a + 3 \neq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3-2 a=0 \\ a-1 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow a=\frac{3}{2}=\frac{m}{n} \Rightarrow m+n=5\right.\right.\)
